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Question du jeudi #17 : La fédération française de Calvinball cherche à organiser le championnat de France 2015. Pour la commodité de tous, ils décident de minimiser la distance totale parcourue par les participants. Or, plus de la moitié de ces participants vit à Lille et ceux-ci affirment que le tournoi devrait donc se tenir dans leur ville. Au contraire, les non-Lillois maintiennent que le choix d'une ville plus centrale serait une meilleure idée. Qui a raison ?

Les Lillois ont raison.

Notons $L$ la ville de Lille, $n$ le nombre de participants Lillois et $A_1, \ldots, A_m$ les villes où habitent les participants qui ne sont pas Lillois (par hypothèse, $n > m$). Si le tournoi a lieu à Lille, la distance totale parcourue par les participants sera
\[ d_L = \sum_{i=1}^m LA_i.\]

En revanche, si le tournoi est organisé dans une autre ville $V \neq L$, la distance totale parcourue sera
\[ d_V = \sum_{i=1}^m VA_i + n\cdot VL.\]

D'après l'inégalité triangulaire, $LA_i \leq VL + VA_i$, donc
\[ d_L = \sum_{i=1}^m LA_i \leq \sum_{i=1}^m \left(VL + LA_i\right) = m\cdot VL + \sum_{i=1}^m LA_i = d_V - (n-m) VL.\]

Comme $VL > 0$ et $n > m$, on a bien $d_L < d_V$, comme l'affirmaient les participants Lillois.