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Question du jeudi #11 : Des passagers embarquent à bord d'un Airbus A380. L'avion est complet. Idéalement, les passagers devraient embarquer un à un et s'asseoir à leur place. Cependant, le premier passager, étourdi, s'assoit à une place aléatoire. Ensuite, les passagers s'assoient à leur place si elle est libre, et à une place libre, aléatoirement, sinon. Vous embarquez le dernier. Quelle est la probabilité que votre place soit occupée ?

Commençons à remplacer l'Airbus A 380 par un avion plus petit. Si l'avion n'a que deux places, la probabilité est $1/2$ : soit le passager étourdi s'assied à sa place et la mienne sera libre, soit il s'assied à la mienne et elle sera occupée.

Dans le cas de trois passagers, la situation est un peu plus compliquée, mais on peut encore étudier tous les cas. Appelons-les $P_1, P_2$ et $P_3$, dans l'ordre dans lequel ils entreront dans l'avion (ainsi, $P_1$ est l'étourdi par qui les ennuis arrivent et je suis $P_3$) et notons $S_1, S_2$ et $S_3$ leurs sièges respectifs. On notera $P_i \to S_j$ si le passager numéro $i$ s'assied dans le siège $j$.

On pourrait même envisager de traiter le cas d'un avion à quatre passagers, mais les détails deviennent un peu pénibles :

On observe que dans nos deux cas, la probabilité cherchée est $1/2$. Démontrons que c'est toujours le cas. On peut rédiger cette preuve de nombreuses façons : choisissons pour le moment d'utiliser le vocabulaire des variables aléatoires.

Observons ce qui se passe quand les $k$ premiers passagers $P_1$, $P_2$, ..., $P_k$ sont installés dans l'avion $(1 \leq k < n)$. Les sièges $S_2, \ldots, S_k$ sont alors occupés (si $S_k$ n'est pas occupé par $P_k$, c'est que celui-ci l'a déjà trouvé occupé quand il est monté dans l'avion). Ainsi, quand les $k$ premiers passagers sont dans l'avion, les sièges occupés sont $S_2, \ldots, S_k$ et un autre siège. Appelons $N_k$ le numéro de ce siège.

Chaque $N_k$ est une variable aléatoire vivant dans $\{1\} \cup \{k+1, k+2, \ldots, n\}$. On a donc une suite $(N_k)_{k=1}^{n-1}$ de variables aléatoires et la probabilité cherchée est $P(N_{n-1} = 1)$. (En effet, $N_{n-1} \in \{1, n\}$), donc soit $N_{n-1} = 1$ et le siège $S_n$ est libre, soit $N_{n-1} = n$ et le siège $S_n$ est occupé.) Au commencement, $N_1$ suit une loi uniforme : $N_1$ est simplement le siège occupé par $P_1$. On a donc $P(N_1 = i) = 1/n$ pour tout $1 \leq i \leq n$. Nous allons montrer par récurrence que $N_k$ suit également une loi uniforme, c'est-à-dire que
\[ \forall i \in \{1\} \cup \{k+1, \ldots, n\},\quad  P(N_k = i) = \frac 1{n-k+1}.\]

Pour cela, analysons ce qui se passe au moment où $P_{k+1}$ rentre dans l'avion. Par définition, les sièges occupés sont exactement $S_2, \ldots, S_k$ et $S_{N_k}$.

•  Si $N_k \neq k+1$, le siège $S_{k+1}$ est donc libre, et $P_{k+1}$ s'y assied. On a donc $N_{k+1} = N_k$.
• Sinon, $P_{k+1}$ s'assied sur un des sièges libres, c'est-à-dire que $N_{k+1}$ prend l'une des valeurs $1$ ou $k+2, k+3, \ldots, n$ avec égale probabilité.

En formules, pour tout $i \in \{1\} \cup \{k+2, \ldots, n\}$, on a donc
\begin{align*}
P(N_{k+1} = i\,|\,N_{k} = k+1) &=  \frac 1{n-k},\\
P(N_{k+1} = i\,|\,N_{k} \neq k+1) &= P(N_k = i\,|\,N_k \neq k+1) = \frac{1}{n-k}.
\end{align*}

Ces deux probabilités étant égales, la formule des probabilités totales donne
\begin{align*}
 P(N_{k+1} = i) & = \frac 1{n-k} \cdot P(N_k = k+1) + \frac 1{n-k} \cdot P(N_k \neq k +1) \\
&= \frac{1}{n-k}.
\end{align*}

En particulier,
\[ P(\text{je trouve mon siège libre}) = P(N_{n-1} = 1) = 1/2.\]

On peut maintenant donner une rédaction plus imagée de notre preuve : dans la réalité, les passagers d'un avion découvrant quelqu'un à leur place ne s'effacent pas si facilement, mais ont plutôt tendance à chasser (poliment) le passager égaré. Qu'est-ce que ce modèle plus réaliste change au problème ?

En fait, pas grand chose : les sièges occupés à un instant donné avec l'un ou l'autre modèle sont les mêmes. La seule différence est que dans ce nouvau modèle, les passagers $P_2, \ldots, P_k$ sont assis à leur place et que c'est $P_1$ qui se déplace, à chaque fois qu'il est chassé d'un siège par son propriétaire légitime, jusqu'à atterrir sur $S_1$ ou $S_n$. Or, à chaque fois que $P_1$ choisit aléatoirement un siège, la probabilité de choisir $S_1$ est égale à celle de choisir $S_n$. Au moment où j'entrerai dans l'avion, $P_1$ sera donc sur l'un de ces deux sièges avec la même probabilité, ce qui entraîne bien que la probabilité que je trouve mon siège libre est $1/2$.