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Question du jeudi #10 : Tout polygone à $n$ côtés $P$ définit un autre polygone $P'$, dont les sommets sont les milieux des côtés du polygone initial et que l'on appellera le polygone des milieux de $P$.

Étant donné un polygone $P'$ à $n$ côtés, comment construire un polygone $P$ dont $P'$ soit le polygone des milieux (ou montrer qu'un tel polygone n'existe pas) ?

Observons la situation :

Le polygone des milieux est $M_{1}M_{2}\ldots M_{n-1}M_{n}$, où $M_{i}$ est le milieu du segment $[A_i A_{i+1}]$ (ou $[A_n A_1]$ si $i = n$). Ainsi, si on connaît le polygone des milieux et le sommet $A_1$, on connaît tous les sommets du polygone initial :

• $A_2$ est le symétrique de $A_1$ par rapport à $M_1$ ;
• $A_3$ le symétrique de $A_2$ par rapport à $M_2$ ;
• ...
• $A_n$ est le symétrique de $A_{n-1}$ par rapport à $M_{n-1}$,

et la boucle se referme ensuite : $A_1$ est le symétrique de $A_{n}$ par rapport à $M_n$.

Si par extraordinaire on était parti de $B_1 = A_1$, on obtiendrait $B'_1 = B_1$ et on aurait identifié le polygone original. Maintenant, dans presque tous les cas, $B_1' \neq B_1$. Comment peut-on identifier le polygone initial à partir de ces points ?

Si on note $s_i$ la symétrie par rapport à $M_i$, on a donc $B'_1 = f(B_1)$, où $f = s_n \circ s_{n-1} \circ \cdots s_2 \circ s_1$ est la composée des $n$ symétries centrales. Il est alors important de distinguer deux cas suivant la parité de $n$ :

• Si $n$ est impair, $f$ est la composée d'un nombre impair de symétries donc c'est une symétrie centrale. Soit $O$ le milieu du segment $[A_1 A_1']$. C'est le centre de symétrie de $f$ ; en particulier $f(O) = O$. Cela signifie qu'en partant de $O = O_1$ et en refaisant notre construction itérative, nous retomberons sur $O'_1 = O$. Ainsi, $M_1 M_2 \cdots M_n$ est le polygone des milieux de  $O_1 O_2 \ldots O_n$. (Comme une symétrie centrale n'a qu'un seul point fixe, c'est d'ailleurs la seule solution : $O_1O_2\cdots O_n = A_1A_2\cdots A_n$.)
• Si $n$ est pair, $f$ est la composée d'un nombre pair de symétries donc c'est une translation. Deux sous-cas se présentent alors :
  – Si $f$ est l'identité, cela signifie que $B'_1 = B_1$ : on a ainsi construit un polygone qui convient du premier coup, quel que soit le point de départ.
  – Dans les autres cas, $B'_1 \neq B_1$, et il en aurait été de même quel que soit le point de départ : cela signifie que $f$ n'a pas de point fixe et qu'il est impossible de trouver un polygone dont $M_1M_2\cdots M_n$ soit le polygone des milieux.

On peut donc résumer la construction de la façon suivante :

• en partant d'un point quelconque $B_1$, on construit son symétrique $B_2$ par rapport à $M_1$ ;
• on construit ensuite le symétrique $B_3$ de $B_2$ par rapport à $M_2$ ;
• ...
• enfin, on construit le symétrique $B'_1$ de $B_n$ par rapport à $M_n$.

À ce moment, si $B'_1 = B_1$, on a trouvé un polygone dont $M_1 M_2 \cdots M_n$ est le polygone des milieux. Si $B'_1 \neq B_1$ et que $n$ est impair, on recommence la construction par rapport au milieu $A_1$ du segment $[B_1 B_1']$ et on obtient le polygone $A_1 A_2 \cdots A_n$ qui convient. Si $B'_1 \neq B_1$ et que $n$ est pair, $M_1 M_2 \cdots M_n$ n'est le polygone des milieux d'aucun polygone.