La réponse du jeudi (1) : polygones réguliers
Publié le 11/09/2014

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Question du jeudi #1 : On se donne un ensemble E constitué de $n \geq 3$ points dans le plan. On suppose qu'étant donné deux points différents $A$ et $B$ de $E$, la médiatrice du segment $[AB]$ est un axe de symétrie de $E$. Montrer qu'alors E est un polygone régulier.


Soit $G$ le centre de gravité de $E$. Si $\Delta$ est un axe de symétrie de $E$, la réflexion par rapport à $\Delta$ permute les différents points de $E$. En particulier, elle laisse invariante le centre de gravité1 $G$, c'est-à-dire que $G \in \Delta$. C'est un résultat général : le centre de gravité d'une figure2 appartient à tous ses axes de symétrie.3


 Ici, les médiatrices de tous les segments $[AB]$ sont des axes de symétrie, donc $G$ appartient à toutes ces médiatrices. En particulier, si $A_0$ est un point de $E$, on a, pour tout $A \neq A_0 \in E$, que $G$ est sur la médiatrice de $[A A_0]$ et donc que $AG = A_0 G$. En particulier, tous les points de $E$ sont sur un même cercle centré en $G$.



Nommons maintenant les points de $E$ sous la forme $A_1, A_2, \ldots, A_n$, dans l'ordre dans lequel ils sont rangés sur le cercle.

Si $1 \leq i \leq n$, la réflexion $\sigma$ par rapport à la médiatrice de $[A_i, A_{i+2}]$ (on considère les indices modulo $n$ : $A_{n+1} = A_1$, $A_{n+2} = A_2$...) échange $A_i$ et $A_{i+2}$, mais elle n'échange pas les deux arcs de cercle joignant $A_i$ à $A_{i+2}$ (celui qui contient $A_{i+1}$ et celui qui contient les autres $A_j$). En particulier, cette réflexion fixe forcément $A_{i+1}$. On en déduit que $A_i A_{i+1} = A_{i+1} A_{i+2}$.

Une situation impossible.



Comme cela est valable pour tout $i$, le polygone $A_1A_2\cdots A_n$ est bien régulier.


1: C'est à peu près évident en coordonnées : les coordonnées de $G$ sont les moyennes des coordonnées des points de $E$. Puisque la réflexion permute les points de $E$, elle permutera les coordonnées, mais cela ne changera pas leur moyenne : la moyenne d'une liste de nombres ne dépend pas de l'ordre, donc l'isobarycentre d'une liste de points non plus !

2: s'il existe, mais c'est automatique pour une figure finie

3 : s'il y en a...

 
 
 
 
 
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