CultureMath

   

Considérons une fonction

.  On voudrait étudier son comportement local.

On peut cependant définir n dérivées partielles notées 

 en s'intéressant à l'accroissement de f lorsque seule  varie, les autres variables étant considérées constantes.Si n=1, on peut étudier l'accroissement de f en un point x grâce à f'(x). Cette méthode n'est évidemment plus directement utilisable pour n>1, car on définit la dérivée par une opération de division, qui n'est plus disponible dans    !

Commençons par considérer le cas où n=2.

---

 

Dérivées partielles d'une fonction à deux variables

Considérons une fonction

.

On définit la dérivée partielle  

de f par rapport à x en dérivant f comme une fonction de la seule variable x, y étant considérée comme un paramètre constant. On définit bien entendu  de manière analogue.

Exemples : (i) Soit f(x,y)=x+y, alors
(ii) Soit f(x,y)=cos(x)+sin(y), alors
(iii) Soit f(x,y)=xy, alors
(de la même manière que, si g(t)=2t, alors g'(t)=2.) (iv) Soit f(x,y)=cos(x).ln(1+y), alors
(v) Soit f(x,y)=cos(x.y), alors

---

 

Cas général :

Considérons une fonction f de

dans  :

On peut définir exactement comme ci-dessus n dérivées partielles notées  

 en dérivant f par rapport à la seule variable , les autres variables étant considérées comme des constantes.

Exemples : (i) Soit f(x,y,z,t)=x.y.z.t, alors
(ii) Soit f(x,y,z,t)=x.y.cos(x.t+2z), alors