Marco Panza, Isaac Newton , Les Belles Lettres, Paris, 2003, p. 43-44.
Lorsqu’il lut la Géométrie, Newton ne possédait pas une culture mathématique suffisante pour pouvoir comparer l’approche de Descartes aux méthodes classiques et en saisir la portée réformatrice. La géométrie cartésienne fut dès le début son univers mathématique, un univers dans lequel il apprit fort rapidement à se mouvoir avec aisance.
L’objet principal de son attention fut la méthode des tangentes. En annexe à la deuxième édition latine de la Géométrie — que F. van Schooten fit paraître à Amsterdam, en deux volumes, entre 1659 et 1661, et qui fut la version de l’essaie de Descartes que Newton étudia — se trouvent deux courtes lettres, respectivement de J. Hudde et de H. van Heuraet, deux disciples hollandais de Descartes, dans lesquelles il est question de cette méthode. Dans la première de ces lettres, Hudde montre comment cette méthode peut être réduite à l’application d’une règle fort simple. Dans la seconde, van Heureat montre que le problème des tangentes est intrinsèquement lié à un autre problème géométrique, apparemment bien distinct, celui des rectifications (consistant dans la recherche de la longueur d’un arc de courbe donné) : dans certains cas, la solution de l’un ces problèmes fournit la solution de l’autre. Ces lettres furent une source d’inspiration fondamentale pour Newton. Ce dernier sut les lire entre les lignes et en dériver, dès l’été 1664, deux résultats fondamentaux.
De l’argument de Hudde, Newton tire que si l’on compose l’équation de la courbe avec une équation standard (la même dans chaque cas) et que l’on multiplie chaque terme de l’équation résultante par l’exposant de x dans ce terme, alors on obtient une troisième équation qui exprime la relation qu’ont entre eux l’abscisse OA, la normale MG, et le segment OG (somme de OG et de la sous-normale AG). En appliquant cette règle il est alors souvent possible de déterminer d’emblée la normale MG et donc la tangente MT. Exploitant l’argument de van Heuraet, il parvient au résultat suivant : en supposant que l’on sache exprimer l’ordonnée AM et la sous-normale AG d’une certaine courbe référée à un système de coordonnées cartésiennes orthogonales, en termes de l’abscisse OG, il est possible d’obtenir l’équation d’une nouvelle courbe dont il est fort aisé de déterminer l’aire. En appliquant ce dernier résultat, on peut calculer l’aire d’un grand nombre de courbes, en se limitant à déterminer la sous-normale d’autres courbes, choisies de manière convenable. Ceci fourni une méthode fondée sur la considération des équations de certaines courbes permettant de carrer ces courbes, ce qui revient à résoudre un problème géométrique classique qu’au XVII e siècle était considéré comme particulièrement difficile.