On considère l'ensemble $A= \{1;2; \dots ; n \}$ des entiers de $1$ à $n$ et $\Lambda$ l'ensemble de toutes les parties de $A$ qui ne contiennent pas deux entiers consécutifs.

Montrer que la somme des carrés des produits de tous les nombres pris dans l'un des ensembles appartenant à $\Lambda$ vaut $(n+1)!-1$.

Exemple : Si $n=3$, $\Lambda=\{\{1\}; \{2\};\{3\} ;  \{1;3\}\}$ et on a $1^2+2^2+3^2+(1\cdot 3)^2=4!-1$