Mathématiques et architecture
À la recherche de l'harmonie
Hors-Série Numéro 60 ; Editions POLE, Paris, Juillet 2017
ISSN 2263-4908
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Les liens qui se sont tissés entre mathématiques et architecture ne sont pas uniquement de nature géométrique. Si l’utilité des théorèmes de Thalès et de Pythagore vient immédiatement à l’esprit, de nombreux autres domaines sont concernés. Les nombres et les proportions (où l’on retrouve le fameux nombre d’or), l’algorithmique (dans le cadre de l’informatique) sont les principaux d’entre eux. Mais la réalisation d’outils de mesure précis, la résistance des matériaux, la gestion de l’acoustique et même l’arbitrage entre le fonctionnel et l’esthétique peuvent aussi faire appel aux mathématiques.
Sur le plan historique, toutes les périodes sont concernées, des bâtisseurs de l’Antiquité, qui nous ont laissé des œuvres impérissables, aux artistes de la Renaissance qui ont imaginé la perspective. Aujourd’hui, aidés par de puissants logiciels, de nouveaux cou- rants émergent, permettant de revisiter sous forme architecturale des concepts comme l’origami, les formes orga- niques, les jeux de construction ou même la géométrie fractale. Bienvenue dans un monde en perpétuel renouvellement !
Dossier 1 : Le beau et l’exact
Pourquoi serait-on obligé de ne penser les mathématiques de l’architecture que sous l’angle de la rigueur ? Depuis toujours, l’imaginaire a envahi les plans d’architectes, qu’ils soient rêveurs, utopistes ou penseurs convaincus de la faisabilité à terme de leurs projets. Délimiter la place de l’esthétique dans la construction, c’est aussi fixer le rôle de chacun au profit du seul élément qui finalement compte : l’œuvre.
Dossier 2 : La place des maths dans l’architecture
Depuis l’Antiquité, les mathématiques sont un partenaire indissociable de l’architecture. Ces liens reposent aujourd’hui sur des considérations pratiques et scientifiques, mais autrefois le mysticisme jouait aussi un rôle important. Dans le domaine des proportions, l’utilisation du nombre d’or en est un exemple connu. De nos jours, la conception des constructions a été totalement bouleversée par l’arrivée de l’outil informatique et des puissants algorithmes sous-jacents derrière lesquels les mathématiques sont omniprésentes. Pourtant, dans leur cursus, les nouveaux architectes étudient peu de maths s’ils ne complètent pas leur formation par un diplôme d’ingénieur.
Dossier 3 : Le nombre, l’espace et la forme
Les liens qui se sont tissés entre mathématiques et architecture ne sont pas seulement géométriques. Le choix de la forme d’un bâtiment, les schémas et dessins préparatoires, les questions de rapport entre les différentes dimensions d’une construction sont des aspects fondamentaux de la démarche de l’architecte, de l’Antiquité à aujourd’hui.
Dossier 4 : Des maths utilitaires
L’architecture s’étend bien au-delà des constructions de bâtiments. Greenwich, avec son célèbre observatoire, permet d’étudier, sur un exemple, comment des considérations géométriques interviennent dans la conception d’infrastructures étonnantes. Les ponts, et même les huttes ou les échafaudages, tirent aussi leur solidité du respect de quelques règles élémentaires de physique mathématique. La construction de navires, suite à la découverte du métacentre par Pierre Bouguer, fait appel aux maths de la mécanique pour concevoir des bateaux stables.
Dossier 5 : Courbes et surfaces
L’architecture fait appel à des courbes et des surfaces souvent dictées par le besoin de solidité des édifices. Ainsi apparaissent dans nos paysages urbains des formes simples aux propriétés intéressantes, comme des cercles, des chaînettes, ou des hyperboles. Les surfaces des bâtiments, essentiellement planes jusque-là, se sont diversifiées au XXe siècle. Les hyperboloïdes furent utilisés pour leurs propriétés mathématiques, mais les résultats sont parfois si heureux que l’on se met à rêver que l’utilité peut être synonyme de beauté en architecture.
Le livre « Mathématiques et Architecture » (sortie en librairie en juillet 2017) de la collection Bibliothèque Tangente est une version (très !) augmentée du hors-série thématique n°60.
Le flambement du mât d’Euler
Par Philippe Boulanger
Prenez un coton-tige entre le pouce et l'index et exercez une force selon l'axe de la tige. Celle-ci résiste, puis se plie brusquement et n’oppose plus de résistance notable à la compression : elle s’affaisse sur elle-même. C’est la ruine ou le flambement de la tige, selon l’expression consacrée.
En 1744, Leonhard Euler a été le premier à expliquer ce phénomène. Lorsqu’une tige mince rectiligne soumise à une force verticale F inférieure à la force critique Fc, une seule forme d’équilibre stable existe : celle où la tige reste rectiligne. Quand F est supérieure à Fc, deux formes d’équilibre existent : l’une stable (où la tige est fléchie), l’autre instable (où la tige reste rectiligne). La valeur de Fc, déterminée par Euler, est égale à 4π2 E × I / l2, où E est le module d’élasticité, I le moment quadratique et l la longueur de la tige. La force critique Fc est ainsi inversement proportionnelle au carré de la longueur l de la tige : si vous coupez la tige en deux, la force critique sera multipliée par 4.
Pour les colonnes en pierre de l’Antiquité ou les robustes poutres en bois du Moyen Âge, le danger était minime (sauf défaut dans le matériau), mais le problème s’est posé de façon plus aiguë dans la construction des ponts métalliques, les navires et les avions, où les tiges trop élancées et les corps creux à parois minces peuvent flamber.
Enfin, les araignées géantes des films de science-fiction qui ont des pattes filiformes pour un corps énorme ne pourraient pas tenir en équilibre à cause du flambement ! En effet, le moment quadratique varie comme le carré du diamètre des pattes, mais le poids est proportionnel au cube du diamètre. Ne manquez pas d’expliquer le détail du phénomène en pleine projection, vos voisins de cinéma apprécieront…