Soit $m$ le nombre de chiffres de l'écriture en base 10 (notation positionnelle usuelle) de $2^{2010}$ et $n$ le nombre de chiffres pour écrire $5^{2010}$.

Trouver $m+n$.

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Si un nombre $A$ s'écrit avec $p$ chiffres alors $10^{p-1}<A<10^p$ et en passant au log de base 10 on a $p-1< \log_{10} A < p$.

On en déduit que $p= \log_{10} A +\epsilon$ avec $\epsilon \in]0;1[$.

Si l'on applique ces idées à notre cas on obtient :

$m= 2010\log_{10} 2 + \epsilon_1$ et $n= 2010\log_{10} 5 + \epsilon_2$ où $0< \epsilon_1,\epsilon_2<1$.

Il vient $m+n=2010\log_{10} 2 + 2010\log_{10} 5+\epsilon_1+\epsilon_2= 2010 +\epsilon_1+\epsilon_2$.

Or $0<+\epsilon_1+\epsilon_2<2$, ce qui permet de conclure $m+n=2011$.

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Un autre solution suggérée par un lecteur attentif, Wallace Krawczyk :

$$2^{2010} \cdot 5^{2010} = 10^{2010} = 1 \mbox{suivi de 2010 zéros}$$

Reste à montrer que le nombre de chiffres d'un produit est la somme nombres de chiffres des éléments du produit, mais pour ça pas besoin de $\log$ !