Auteur : Dominique Souder
Editeur : Frédéric Jaëck. Toute reproduction pour publication ou à des fins commerciales, de la totalité ou d'une partie de l'article, devra impérativement faire l'objet d'un accord préalable avec l'éditeur (ENS Ulm). Toute reproduction à des fins privées, ou strictement pédagogiques dans le cadre limité d'une formation, de la totalité ou d'une partie de l'article, est autorisée sous réserve de la mention explicite des références éditoriales de l'article.
3) Utilisation de la mathémagie en classe : quand, comment, pour quoi faire, à quels niveaux?
3a) Peut-on faire de la mathémagie à tous les niveaux de l’enseignement secondaire?
En fin d’article (voir le point 11) vous trouverez un long récapitulatif de tous les thèmes mathématiques de notre enseignement secondaire que j’ai pu traiter au travers de tours de magie.
Un même principe mathémagique peut être décliné avec profit à des niveaux scolaires allant du Cours Elémentaire à la Terminale, pour l’entraînement à la bonne utilisation de propriétés mathématiques de niveaux divers. On va voir un exemple en démarrant par un tour accessible à un enfant de 8 ans…
Nous allons utiliser un objet conçu pour prédire le résultat de calculs donnant toujours le même nombre (qui aura un lien avec un spectateur). Cet objet a été inventé pour qu’un enfant puisse fêter de façon originale l’anniversaire de sa maman de 36 ans.
L’enfant arrive avec l’objet et 4 pions ; il demande à sa maman de placer les 4 pions : attention, un seul pion par ligne, un seul pion par colonne…
Ceci fait, il demande : Quelle est la somme des nombres écrits sous les 4 pions?
Comme c’est 36 il souhaite un bon anniversaire à sa mère.
Il demande alors de placer les 4 pions autrement, en respectant toujours la règle « un par colonne, un par ligne ». La maman s’aperçoit que c’est toujours la même somme (son âge : 36 ans) malgré des dispositions différentes des pions.
Explication :
À partir d’une ligne et d’une colonne supplémentaire formées de 8 nombres sur fond rouge, inventés pour donner un total de 36, on a construit une table d’addition pour obtenir le carton à fond blanc de 16 nombres. Chaque nombre en blanc est la somme de deux nombres rouges, l’un vertical l’autre horizontal. On a ensuite découpé la ligne et la colonne rouge avant de jouer.
En ajoutant quatre pions on utilise chaque composante rouge une et une seule fois car il doit y avoir un pion par ligne et par colonne exactement.
Le total des quatre nombres choisis est toujours le total des huit nombres écrits sur fond rouge, c’est pour cela qu’il est constant. Si le total des huit nombres rouges est 36 le total des pions sera 36.
On peut utiliser une autre opération que l’addition pour un travail de même type.
Un autre exemple sur le même thème : « Objets magiques et multiplications… »
Prenons les six nombres différents suivants 1, 2, 3, 4, 15, 25.
Si on les multiplie tous on obtient 1x 2x3x4x15x25 = 9000.
Partageons-les en deux paquets de trois nombres, l’un qu’on note sur une ligne horizontale, l’autre qu’on note sur une colonne verticale, pour remplir les 9 cases de leur table de multiplication avec les 9 produits obtenus.
Coupons les bords du haut et de la gauche, on obtient un objet magique (à recopier par exemple sur un bout de carton…)
Le magicien écrit sur un papier une prédiction : 9000. Il plie le papier.
Il propose au spectateur de placer trois pièces sur trois cases du carré de neuf cases, de façon à ce qu’il n’y ait qu’une pièce par ligne, et qu’une pièce par colonne. Le spectateur doit ensuite multiplier les trois nombres choisis. Le magicien déplie son papier : il avait prédit le bon résultat : 9000.
Pourquoi?
Le spectateur avait choisi par exemple : 4x45x50 = 9000. Chacun des trois nombres choisis provient de deux nombres des bords de la table d’origine, et à eux trois les six nombres différents des bords sont utilisés dans le produit, ce qui donne toujours 9000.
À vous d’inventer !
Vous voulez joindre l’utile à l’agréable en apprenant à votre petit frère les nombres dix, cent, mille, un million, un milliard (ce que vous appellerez les puissances de 10 plus tard)? Partez d’une table de multiplication comme la suivante :
Au lieu de couper les bords habituels, et d’écrire sur un carton les neuf cases en chiffres, écrivez-les en lettres… Voilà une façon pour les plus jeunes des écoliers de se familiariser avec ses nombres et leurs écritures ! Ecrivez le futur résultat sur votre petit papier : dix milliards.
Faites faire la multiplication des trois nombres choisis (en comptant bien les zéros !) et demandez comment le résultat se prononce…
Le principe mathémagique à l’oeuvre
Soient a, b, c, A, B, C des nombres et * une opération entre nombres comme l’addition ou la multiplication, mais pas la soustraction ou la division : il faut que cette opération soit commutative (a*b=b*a) et associative (a*(b*c) = (a*b)*c = a*b*c). Dressez la table de Pythagore de votre opération : vous obtenez 9 résultats sur fond blanc. Entourez 3 cases sur les 9, en veillant à ce qu’il n’y en ait qu’une seule entourée par ligne et une seule
par colonne. Plusieurs solutions sont possibles…
Faites agir votre opération * entre vos trois valeurs. Changez vos 3 cases entourées en respectant toujours la consigne « une par ligne, une par colonne », faites agir votre opération : vous devriez trouver le même résultat que précédemment.
Pourquoi ?
Il se trouve que quand vous faites agir * entre vos 3 valeurs entourées, c’est finalement entre les 6 valeurs sur fond rouge, qui ont permis de dresser la table de l’opération *, que vous la faites agir. Ainsi, par exemple :
- à partir des 3 cases (a*A), (b*C) et (c*B) vous obtenez : (a*A)*(b*C)*(c*B) qui peut s’écrire a*b*c*A*B*C grâce aux propriétés de commutativité et d’associativité de votre opération.
- à partir des 3 cases (b*A), (a*C) et (c*B) vous obtenez : (b*A)*(a*C)*(c*B) qui peut s’écrire encore a*b*c*A*B*C grâce aux propriétés de commutativité et d’associativité de votre opération. Etc.
Ce principe peut être utilisé avec diverses opérations possédant les bonnes propriétés, et des tableaux ayant un nombre de cases supérieur : 4x4 (on entoure 4 cases), 5x5 (on entoure 5 cases), …, 10x10 (on entoure 10 cases), etc. A partir du moment où les cases entourées respectent la consigne « une par ligne, une par colonne », le résultat de l’action de l’opération * entre vos cases choisies sera toujours le même : ce sera celui qu’on obtient en faisant agir * entre tous les nombres qui ont servi à dresser la table de votre opération *.
Les puissances de 10 au collège
Vous enseignez en quatrième et vous espérez faire faire à vos élèves quelques calculs d’entraînement sur les puissances de 10 à exposants entiers positifs et négatifs, sans qu’ils rechignent à la tâche, et même en leur faisant relever un défi?
Faites leur trouver le plus de positionnements « un par ligne, un par colonne » de 4 pions à partir du tableau ci-dessous, puis écrire et calculer les produits des puissances de 10 associées aux 4 pions… Surprise : tous les produits seront égaux ! Les élèves sauront-ils trouver pourquoi?
Ci-dessous voici comment le tableau a été construit : c’est une table de multiplication à partir de 8 nombres sur fond rouge dont le produit est : $1x10^{-3}x10x10^4x10x10^{-2}x10^2x10^5 = 108$, soit 100 000 000 ou cent millions.
Comme il n’y a qu’un seul pion sur la même ligne on ne peut utiliser deux fois le nombre rouge de cette ligne pour des jetons différents. Comme il n’y a qu’un seul pion sur la même colonne on ne peut utiliser deux fois le nombre rouge de cette colonne pour des jetons différents. Les quatre jetons utilisent donc les huit nombres rouges. Le produit des quatre jetons est égal au produit des huit nombres rouges, c’est pour cela qu’on trouve toujours le même résultat final.
Et au lycée alors ?
Les occasions seront encore plus nombreuses de mettre en œuvre le principe magique qui nous occupe, pour faire passer des notions parfois ingrates, ou pour varier les présentations d’exercices d’entraînement à l’application de certaines propriétés fondamentales...
Les angles modulo $2\pi$ au lycée
Trouvez le plus de positionnements possibles « un par ligne, un par colonne » de 4 pions à partir du tableau ci-dessous, puis écrivez et calculez les sommes, modulo $2\pi$, des 4 angles choisis.
[Pour plus d’efficacité on pourra remplacer, dans le tableau et les calculs, les mesures de certains angles par celles qui sont équivalentes entre $0$ et $2\pi .$]
Que remarquez-vous après ces additions ? Pourquoi ?
Additions de logarithmes
Trouvez le plus de positionnements possibles « un par ligne, un par colonne » de 4 pions à partir du tableau ci-dessus, puis écrivez et calculez les sommes des 4 nombres choisis.
[On pourra s’aider de l’écriture de toutes les cases sous la forme du Ln d’un rationnel]
Que remarquez-vous ?
Pourquoi ?
Multiplications d’exponentielles
Trouvez le plus de positionnements possibles « un par ligne, un par colonne » de 4 pions à partir du tableau ci-dessous, puis écrivez et calculez les produits des 4 nombres choisis.
[On pourra mettre tous les nombres sous la forme $e^k$ avec k rationnel]
Que remarquez-vous ?
Vérifiez que ce tableau 4x4 peut être celui d’une table de multiplication, en imaginant pour les cases colorées des valeurs adaptées permettant sa construction :
Additions de nombres complexes
Trouvez le plus de positionnements possibles « un par ligne, un par colonne » de 4 pions à partir du tableau ci-dessous, puis écrivez et calculez les sommes des 4 nombres choisis.
Que remarquez-vous ? Pourquoi ? Proposez une manière dont on a pu construire ce tableau.
Multiplications de nombres complexes
Trouvez le plus de positionnements possibles « un par ligne, un par colonne » de 4 pions à partir du tableau ci-dessous, puis écrivez et calculez les produits des 4 nombres choisis.
[On pourra mettre toutes les cases sous la forme $\alpha e^{ik\pi}$ avec $\alpha$ réel et k rationnel].
Que remarquez-vous ? Pourquoi ? Proposez une façon dont on a pu construire ce tableau.
On peut envisager un prolongement informatique du principe (Excel…) : mais attention aux valeurs approchées… Il faut un tableur capable d’afficher des valeurs exactes (exemple XCAS…). À vous de poursuivre l’aventure.
On peut encore prolonger à d’autres thèmes mathématiques : la multiplication de matrices, etc. : A vous de jouer !
3b) Quelle utilisation en classe, à quels moments ?
On peut faire des tours de mathémagie comme applications de propriétés et entraînement à les utiliser en fin de leçon : le « principe mathémagique » dont on vient de parler en est un exemple. Cela peut être une façon de donner un côté ludique à des exercices répétitifs.
On peut utiliser des tours en introduction de leçon : le ruban de couturière présenté précédemment en est un exemple pour démarrer la leçon sur les suites arithmétiques.
En récompense ludique en fin de cours, sans lien avec une leçon, on peut faire un tour avec pour but de donner des images mentales et de l’intuition qui serviront dans des notions difficiles de classes futures : par exemple la « légende de Carthage » sur la distinction aire et périmètre, ou encore « le sesquimètre de couturière » sur la somme de termes d’une suite arithmétique.
Pendant un cours, pour aider à comprendre ce qui se passe, ou donner l’intuition qu’il y a quelque chose à comprendre, on peut faire des tours… Voici deux exemples :
- Ex. 1: En cinquième, la règle de produit des signes associée à un tour de cartes :
« Multipliez les signes pour gagner le pari ! »
Déroulement du tour
Le magicien fait prélever par un spectateur, dans un jeu de 32 cartes, autant de cartes que celui-ci le désire. Le spectateur est invité à retourner parmi ses cartes autant de cartes qu'il le souhaite, devant le magicien, et ensuite il bat son paquet de cartes : c'est un mélange de cartes faces en haut ou faces en bas. Le magicien écrit une prédiction sur un papier.
Le magicien donne du travail au spectateur : il lui faut extraire de son paquet, à partir du haut, les deux premières cartes...
- si elles sont tournées toutes les deux faces en bas, ou si elles sont tournées toutes les deux faces en haut, elles seront remplacées par une carte face en bas qui sera placée sous le paquet. Plus précisément, si les deux cartes étaient faces en bas on peut prendre l'une ou l'autre pour la mettre en dessous du paquet, et on élimine sur la table celle qui reste ; si les deux cartes étaient toutes les deux faces en haut, on en élimine une sur la table, on retourne l'autre qui va prendre sa place face en bas sous le paquet.
- si elles sont tournées toutes les deux de façon différente, c'est à dire l'une face en haut, l'autre face en bas, on place celle qui est face en haut sous le paquet et on élimine sur la table celle qui était face en bas.
Après ce premier travail le paquet tenu par le spectateur contient une carte de moins. Il faut continuer selon le même principe, à partir des deux cartes supérieures du paquet, à diminuer la grosseur du paquet d'une carte à chaque processus, ceci jusqu'à ce qu'il ne reste plus que deux cartes, puis enfin une seule.
Le magicien déplie le papier contenant sa prédiction : il avait deviné si la carte qui resterait la dernière serait tournée face en haut ou face en bas. Pari réussi!
Explication
Deux cartes faces en haut donnent une carte face en bas, deux cartes faces en bas donnent une carte face en bas, cela rappelle les règles de multiplication des signes des nombres relatifs, soit - x - = + et + x + = +.
Deux cartes l'une face en haut l'autre face en bas cela donne une carte face en haut, et ceci rappelle les règles de signes - x + = - et + x - = -.
Le terme "face en haut" correspond au signe - et le terme "face en bas" au signe +.
Le processus de remplacement de deux cartes par une seule correspond au remplacement du produit de deux relatifs par leur résultat, à l'intérieur d'une ligne de calcul d'un produit d'un grand nombre de facteurs.
Le magicien compte mentalement les cartes que met faces en haut le spectateur (les battre ensuite ne change pas ce nombre). On sait que quand on multiplie un nombre impair de signes moins, le résultat du calcul est négatif, et que quand on multiplie un nombre pair de signes moins, le résultat est positif. Si le nombre de cartes mises faces en haut est impair, la dernière carte sera face en haut. Si le nombre de cartes mises faces en haut est pair, la dernière carte sera face en bas.
La prédiction est aisée à faire.
Une variante possible, pour 2 spectateurs...
Le paquet de 32 cartes est séparé en deux tas qui peuvent être inégaux, l'un reste faces en bas, l'autre est retourné faces en haut. On superpose les deux paquets, on mélange le tout. En prétextant de répartir équitablement le travail qui suivra entre deux spectateurs, le magicien distribue carte après carte en deux tas alternativement les cartes. Chaque spectateur reçoit un tas de 16 cartes dont certaines sont faces en bas et d'autres faces en haut.
Le magicien écrit une prédiction sur un papier.
Le magicien invite chaque spectateur à suivre le processus d'élimination décrit ci-dessus pour son propre paquet (remplacement à partir du haut de 2 cartes par une, etc.). Quand il ne reste plus qu'une carte à chaque spectateur, on les rassemble en un tas de 2 cartes auquel on applique la même règle. Il ne reste qu'une carte.
La prédiction est dévoilée et correspond au résultat final : soit une carte face en bas, soit une carte face en haut.
Explication
Le magicien, pendant qu'il redistribue en deux tas les cartes, compte combien il y aura de cartes, parmi les 32, qui seront faces en haut dans les tas qu'il tendra aux spectateurs. Si c'est un nombre impair le résultat final sera une carte face en haut; si c'est un nombre pair le résultat final sera une carte face en bas.
Le magicien peut aussi prédire pour chaque personne quelle sera sa dernière carte, s'il a pris soin de compter dans chaque tas le nombre de cartes faces en haut.
- Ex. 2: En 1ère S sur la limite d’une suite de Fibonacci et prédiction des premières valeurs décimales d’un quotient. Voici le tour « La limite de la divination »…
Pour un cours de maths sur les suites et la limite éventuelle d’une suite (u n), vous avez peut-être évoqué la suite de Fibonacci : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 24, 34, 55, 88, 143, 231, 374, 605, etc. vérifiant la relation $u_{ n+2} = u_{ n+1} + u_n$ pour tout entier $n$. Vous avez fait découvrir la limite, quand $n$ tend vers l’infini, des quotients $ \frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ de cette suite, qui est le nombre le nombre d’or valant $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, dont une valeur approchée par défaut est 1,618. On peut généraliser l’appellation « suite de Fibonacci » à une suite ne commençant pas obligatoirement par les deux valeurs entières 1 et 1, mais qui vérifie bien, à partir du troisième terme, la relation exprimant qu’un terme est la somme des deux termes qui le précède. La limite des quotients $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ de cette suite de Fibonacci généralisée est aussi le nombre d’or.
Voici un prolongement sous forme de tour de mathémagie…
Déroulement
Le magicien pose une enveloppe sur la table, en disant qu’elle contient une prédiction qu’il a eue pendant la nuit.
Le magicien fait choisir à un spectateur deux entiers quelconques inférieurs à 20, puis demande de les additionner. Il fait ensuite additionner ce dernier nombre avec le précédent, et continuer ainsi de suite (un nombre étant la somme des deux précédents) jusqu'à ce qu'on ait 15 nombres successifs. Le magicien tend une calculatrice et demande à sa victime de diviser son 15ème nombre par son 14ème. Le magicien déclare alors qu’il a vu en rêve les premiers chiffres du résultat, plus précisément sa partie entière et les trois premiers chiffres après la virgule. L’enveloppe est ouverte, sur laquelle on lit en effet 1,618 ce qui se révèle être en effet le début du résultat affiché par la calculatrice.
Explication
Selon les deux valeurs choisies au départ, les valeurs $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ du quotient d’un terme par le précédent se rapprochent plus ou moins vite, quand on augmente $ n$, d’une valeur commençant par 1,618. Elles encadrent de plus alternativement en dessous et au-dessus la valeur du nombre d’or. Exemple :
Ici c’est à partir de $u_9 / u_8$ que le quotient vaut toujours 1,618… mais parfois il faut pousser les indices plus loin. Avec la précaution d’avoir 15 nombres écrits, dans le cas de deux nombres quelconques inférieurs à 20 choisis au départ, le magicien s’est assuré que $\frac{u_{15}}{u_{14}}$ vaudra toujours 1,618… On peut faire un travail sur Excel en envisageant les 19x19 = 361 cas de choix de couple de nombres au départ, et vérifier que le quotient est toujours 1,618 quand on pousse à $\frac{u_{15}}{u_{14}}$ alors que ce ne serait pas toujours le cas pour des indices inférieurs. En tant que tour de magie celui-ci ne doit pas être répété car la prédiction conduit à coup sûr à 1,618 quel que soit le choix des deux nombres de départ par le spectateur, mais en tant que tour pédagogique on gagnera à le refaire avec beaucoup de valeurs différentes.
3c) Dans des moments de doute ou de conflit avec les élèves du style « à quoi ça sert les maths ? »
- Exemple de remise en question : « pourquoi compter avec des lettres ? ». Le tour développé plus haut « le L de Fibo » est une réponse prouvant les bienfaits du calcul littéral pour une bonne compréhension d’un mécanisme de réussite magique.
- Autre exemple : « tout cela ne sert à rien dans notre quotidien ». Voici un tour à propos des codages utilisés dans notre vie de tous les jours. « Le code ISBN à 13 chiffres des livres depuis 2007 »
Déroulement d’un tour avec un livre récent
Dans un lieu possédant une bibliothèque, ou devant un public ayant des livres dans son sac, le magicien propose de relever un défi. Un spectateur volontaire regarde la dernière page d’un livre paru depuis 2007, et va lire à haute voix le début de son code ISBN. Celui-ci devant avoir 13 chiffres, le spectateur donnera les 12 premiers chiffres de gauche, et le magicien trouvera alors le treizième et dernier chiffre (celui qui se trouve à l’extrême droite). Le magicien, muni d’un papier et d’un crayon lui servant à noter les chiffres qu’on lui donne, fait un petit calcul et réussit en moins de 30 secondes à trouver le chiffre manquant.
Explication
Pour faciliter la gestion informatique, chaque livre porte un code à barres à la norme EAN 13 et un code ISBN-13 dont il est dérivé. Ce code comporte 13 chiffres, il est aujourd’hui obligatoire (depuis janvier 2007), et doit être utilisé pour tous les nouveaux codes ISBN à la place du code à 10 chiffres qui était valable jusqu’en 2006. En effet, l’ancienne numérotation est arrivée à saturation, et ne permettrait plus d’attribuer simplement des groupes de codes spécifiques aux différents éditeurs (qui devaient alors rechercher des accords avec d’autres éditeurs ayant des ressources de numéros libres dans les groupes de numérotation qui leur avaient été attribués dans le passé).
Voici comment sont choisis les treize chiffres, de gauche à droite :
- les trois premiers chiffres valent « 978 » (978 est le premier des identifiants attribués aux livres dans la codification EAN) ;
- les neuf chiffres suivants sont les neuf premiers chiffres de l’ISBN (d’abord le code de la zone géographique soit 2 pour la France, puis le code de l’éditeur avec quatre chiffres, et enfin la numérotation interne à l’éditeur avec quatre chiffres).
- le dernier chiffre (le treizième) est une clé de contrôle calculée en fonction des 12 premiers chiffres. Le magicien pour réussir le tour de magie doit donc savoir calculer cette clé de contrôle grâce aux douze premiers chiffres : voici la tactique…
Chaque chiffre de rang impair à partir de la gauche (donc en positions 1, 3, 5, 7, 9, 11) se voit attribuer un coefficient 1. Chaque chiffre de rang pair à partir de la gauche (donc en positions 2, 4, 6, 8, 10, 12) se voit attribuer le coefficient 3. On additionne les douze nombres obtenus. On divise par 10 et on s’intéresse au reste (soit « r », qui est un nombre valant de 0 à 9 selon les cas). Ensuite on calcule la différence (10-r). Si l’on trouve un résultat entre 1 et 9 compris, c’est la clé. Si l’on trouve r = 0 et donc 10x r = 10 la clé n’est pas 10 (ce n’est pas un seul chiffre), on ne note pas non plus X pour cette valeur comme avant 2007, il a été décidé que la clé serait alors 0.
Premier exemple :
Le livre « 60 tours magiques de maths et de logique » paru aux éditions Ellipses (code éditeur 7298) en 2012 a pour code ISBN 9782729872847. Le magicien devra retrouver le 7 final à partir des douze autres chiffres. Il note ceux-ci sur son papier en décalant ceux de rang impair et ceux de rang pair, ce qui va l’aider dans son calcul.
Le magicien calcule ensuite 48+75 = 123.
La division par 10 se fait facilement de tête, 123 = 12x10 + 3 ; le reste est bien sûr 3. La clé est donc 10 - 3 = 7.
Deuxième exemple :
Le livre « Magic Mathieu multiplie les nouveaux mystères », paru aux éditions Belin (code éditeur 7011) en 2008 a pour code ISBN 9782701156460. Le magicien devra trouver le 0 final à partir des douze chiffres de gauche.
La division par 10 se fait facilement de tête, 100 = 10x10 ; le reste est bien sûr 0. La clé n’est pas 10-0 = 10 il a été convenu officiellement de la fixer à 0.
Remarque :
Si on ajoute, au vu du nombre de treize chiffres, tous les chiffres de rang impair à partir de la gauche (il y en a sept en comptant la clé) et le triple de la somme des six chiffres de rang pair on obtient un nombre qui est un multiple de 10 (qui se termine donc par un 0).
Dans le premier exemple : on trouve 123 + 7 = 130 qui se termine par un zéro.
Dans le deuxième exemple : on trouve 100 + 0 = 100 qui se termine par zéro.
Si l’on veut parler savamment de « congruences », on peut dire que la somme des sept chiffres de rang impair à partir de la gauche, et du triple de la somme des six chiffres de rang pair, est un résultat « congru à 0 modulo 10 », ce qui signifie que son reste entier dans la division par 10 est 0.
3d) Pour l’éducation à la citoyenneté, pour faire de l’interdisciplinarité :
Voici un tour exemplaire : « Les numéros de nos billets en euros »
Devant l’augmentation des contrefaçons des billets de la première série (parus depuis 2002), la Banque centrale européenne (BCE) a commencé à introduire une 2e série de billets en euros, qui se caractérise par la représentation d’un portrait d’Europe (figure mythologique grecque) dans le filigrane et l’hologramme de chaque coupure. Sa mise en place s’étalera sur plusieurs années, le billet de 5 euro est sorti le premier, celui de 10 euro est arrivé ensuite le 23 septembre 2014.
L'ajout du portrait permet en effet d'inclure de nouveaux signes de sécurité, destinés à rendre la contrefaçon des billets plus ardue : le visage est en hologramme, perceptible en inclinant le billet, et en filigrane, visible par transparence. Par ailleurs, un nombre couleur émeraude, avec effet lumineux et changement de teinte complète les deux premiers nouveaux signes de sécurité.
Graphisme de la série « Europe »
Le graphisme de la série « Europe » se base sur le même thème « Époques et styles architecturaux » que la première série. Néanmoins, l’apparence des nouveaux billets a été modifiée et « rafraîchie » afin d’intégrer de nouveaux signes de sécurité améliorés, ce qui permet également de faire facilement la différence entre les deux séries.
Comme pour la première série, les billets de la série « Europe » évoquent les styles architecturaux caractérisant sept périodes de l’histoire de la culture européenne, mais ils ne présentent aucun monument ou pont existant réellement. Les styles architecturaux sont les suivants :
5 euros : classique
10 euros : roman
20 euros : gothique
50 euros : Renaissance
100 euros : baroque et rococo
200 euros : architecture du XIXe siècle utilisant l’acier et le verre
500 euros : architecture du XXe siècle
C'est un graphiste indépendant de Berlin, Reinhold Gerstetter, qui a été choisi pour repenser le graphisme des billets en euros.
Chaque billet aura une couleur dominante qui contraste par rapport à la coupure précédente et suivante de la gamme. Les coupures de la deuxième série conservent les mêmes couleurs que dans la première série, à savoir gris pour le billet de 5 euros, rouge (10 euros), bleu (20 euros), orange (50 euros), vert (100 euros), jaune-brun (200 euros) et mauve (500 euros).
Le graphisme des nouveaux billets prend également en compte les pays qui ont adhéré à l'Union européenne en 2004 et en 2007 après le lancement de la première série. Les billets montrent :
- le nom de la monnaie - euro - qui apparaît non seulement en caractères romains (EURO) et grecs (EYPΩ), mais aussi en caractères cyrilliques (EBPO), du fait de l'adhésion de la Bulgarie à l'Union européenne en 2007 ;
- une carte modifiée de l’Europe, sur laquelle figurent Malte et Chypre ;
- les initiales de la Banque centrale européenne dans neuf langues. Les abréviations sont disposées selon l'ordre protocolaire de l'UE applicable aux pays et aux langues officielles, et correspondent aux combinaisons suivantes des pays et des langues officielles :
• BCE : Belgique (français), Espagne (espagnol), France (français), Italie (italien), Luxembourg (français), Portugal (portugais), Roumanie (roumain)
• ECB : Belgique (néerlandais), République tchèque (tchèque), Danemark (danois), Irlande (anglais), Lettonie (letton), Lituanie (lituanien), Pays-Bas (néerlandais), Slovénie (slovène), Slovaquie (slovaque), Finlande (suédois), Suède (suédois), Royaume-Uni (anglais)
• ЕЦБ : Bulgarie (bulgare)
• EZB : Allemagne (allemand), Luxembourg (allemand), Autriche (allemand)
• EKP : Estonie (estonien), Finlande (finnois)
• EKT : Grèce (grec), Chypre (grec)
• EKB : Hongrie (hongrois)
• BĊE : Malte (maltais)
• EBC : Pologne (polonais)
Les numéros de série sur les billets de la série « Europe »
Sur les billets de la nouvelle série, le numéro de série de chaque coupure est constitué de deux nombres imprimés au recto :
- un nombre horizontal imprimé en noir
- et un nombre vertical imprimé dans une autre couleur.
Le nombre horizontal comprend deux lettres et dix chiffres. La première lettre indique l'imprimerie (voir la liste ci-dessous). La deuxième lettre n'a pas de signification particulière et permet uniquement de multiplier les combinaisons possibles.
Lettres désignant les imprimeries
Banque Nationale de Belgique Z
Banque de Grèce Y
Giesecke & Devrient GmbH (Münich) X
Giesecke & Devrient GmbH (Leipzig) W
Fábrica Nacional de Moneda y Timbre V
Banque de France U
Banque centrale d'Irlande T
Banque d'Italie S
Bundesdruckerei GmbH R
Joh. Enschede Security Printing BV P
Oesterreichische Banknoten und Sicherheitsdruck GmbH N
Valora M
De La Rue Currency (Gateshead) J
De La Rue Currency (Loughton) H
Oberthur Fiduciaire E
Polska Wytwórnia Papierów Wartościowych D
Lettres non utilisées A, B, C, F, G, L, K
A propos du codage du numéro horizontal…
On peut trouver une règle commune d’attribution des numéros des billets de première et de deuxième séries… Et se rendre compte que son billet est un faux dans le cas où la règle n’est pas respectée ! On peut aussi jouer au magicien et retrouver le dernier chiffre connaissant tout le reste du numéro, en considérant donc ce dernier chiffre comme une clef de contrôle !
Voici le travail de vérification que vous pouvez faire, par exemple sur les billets reproduits ci-dessous :
- On ajoute tous les chiffres sans tenir compte de la ou des deux lettres,
- On rajoute à cette somme le nombre de lettres présentes sur le "numéro" horizontal du billet,
- On rajoute à cette nouvelle somme, le numéro d'ordre de la lettre dans l'alphabet (A=1, …, U=21, …, Z=26)
- S'il y a plusieurs lettres (billets de 2e série), on ajoute la somme des numéros d'ordre des lettres dans l'alphabet.
- La somme de tout ça doit être un multiple de 9.
Exemples, pour les premier et quatrième billets représentés ci-dessous :
- Numéro Z74960319429 => avec Z=26 => 26 + 7 + 4 + 9 + 6 + 0 + 3 +1+ 9 + 4 + 2 + 9 + 1 (car 1 lettre, le Z) = 81 (multiple de 9)
- Pour UA1069643784 => avec U=21 et A=1 => 21 + 1 + 1 + 0 + 6 + 9 + 6 + 4 + 3 + 7 + 8 + 4+ 2 (car 2 lettres, U et A) = 72 (multiple de 9).
La banque de France (lettre « U ») a fabriqué le billet de 10 € (1ère série) et le billet de 5€ (2e série) ci-dessous, et la Banque Nationale de Belgique (lettre « Z ») celui de 50€.
Où a été fabriqué le 2e billet (20€) ? Vérifier le respect de la règle pour ce numéro.
Tour de magie avec un billet :
Déroulement
Le magicien demande au spectateur de lui lire la ou les lettres de son numéro horizontal de billet, suivi de tous les chiffres sauf le dernier à droite. Après avoir noté tout cela sur un petit papier il donne très vite le chiffre manquant.
Explication
Le magicien fait le travail de calcul énoncé ci-dessus.
Par exemple pour le dernier billet (celui de 5€) dont le spectateur cache le dernier chiffre (4), le magicien, après avoir bien pensé à remplacer les lettres par leur numéro dans l’alphabet, et bien pensé à ajouter dans son calcul un 2 car il y a 2 lettres, aboutit au total de 68. Comme il devrait obtenir un multiple de 9, et cherche le plus petit multiple de 9 supérieur à 68, il trouve 72 et il en conclut qu’on lui a caché le chiffre 72-68 = 4.
Attention : pour le premier billet (celui de 50 €) le total du magicien sans le dernier chiffre serait 72 qui est déjà un multiple de 9. Le magicien peut hésiter pour dernier chiffre manquant entre un 0 (qui donnerait 72 divisible par 9) et un 9 (qui donnerait 81 divisible par 9). Dans ce cas particulier la réponse est toujours 9, car il a été convenu dans la fabrication des billets que le dernier chiffre ne pouvait jamais être un 0.
Astuce pour gagner du temps :
Au lieu d’ajouter tous les chiffres, on peut commencer par éliminer les 9 et les nombres dont la somme fait 9 (comme 6+3, 8+1, 6+2+1, etc.) ou un multiple de 9 (comme 26+1). Ainsi dans le premier exemple : numéro Z74960319429 :
on barre tout, ce qui signifie qu’on a un multiple de 9, donc il manque un 9 final.
3e) La mathémagie, une occasion de faire de la programmation informatique sur ordinateur ou sur calculatrice en lien avec des tours de magie.
- Exemple 1 : « Construire des carrés magiques pour fêter des anniversaires » débouchant sur une algorithmique de construction de ces carrés.
J’ai déjà décrit diverses façons de fabriquer un carré magique dont la somme, supérieure ou égale à 34, est proposée par un spectateur (voir « 80 petites expériences de maths magiques », éd. Dunod, ou « 32 tours de maths pour 32 cartes », éd. ACL Kangourou). A chaque fois je faisais d’abord travailler le spectateur, qui devait fabriquer un tableau carré de 16 cases genre Sudoku avec 4 valets, 4 dames, 4 rois et 4 as respectant la règle « sur chaque ligne et sur chaque colonne il ne doit y avoir qu’une carte de chaque famille (pique, cœur, carreau, trèfle) et qu’une carte de chaque valeur (valet, dame, roi, as). »
À partir du tableau formé par le spectateur, et sans voir celui-ci, je donnais les instructions pour écrire sous les 16 cartes les 16 valeurs formant un carré magique de la somme voulue.
Je rappelle ci-dessous une tactique valable parmi d’autres …
Si « n » est la somme voulue, supérieure ou égale à 34, on calcule (n-34), puis on divise ce nombre par 4 on obtient un quotient q, et un reste entier r (inférieur strictement à 4).
- On attribue pour les carreaux les valeurs (1+q) au valet, (2+q) à la dame, (3+q) au roi et (4+q) à l’as ;
- On attribue pour les trèfles les valeurs (5+q) au valet, (6+q) à la dame, (7+q) au roi, (8+q) à l’as ;
- On attribue pour les coeurs les valeurs (9+q) au valet, (10+q) à la dame, (11+q) au roi, (12+q) à l’as ;
- On attribue pour les piques les valeurs (13+q+r) au valet, (14+q+r) à la dame, (15+q+r) au roi, (16+q+r) à l’as.
Le tour est très beau et spectaculaire, mais un peu long, surtout si le spectateur n’est pas très porté à la logique et a du mal à réaliser seul le tableau de 16 cartes respectant les consignes.
Le magicien peut aller plus vite, sans passer par le tableau de 16 cartes et le martyr du spectateur, pour constituer un carré magique ayant pour somme par exemple l’âge d’une personne ayant au moins 34 ans. Voici comment …
En se basant sur la construction du tableau Sudoku de cartes à partir de ses 4 cases centrales, le magicien peut repérer un ordre de remplissage des cases comme ci-dessous , dans l’ordre alphabétique a, puis b, c, d, e, etc. Retenir la tactique pour une dizaine ou une douzaine de cases, cela suffit , car les nombres à mettre dans les dernières cases se trouvent facilement à partir de la somme magique « n » voulue.
Avec un peu d’habitude les cases h, k, l ne sont pas à apprendre, mais elles peuvent faire gagner du temps si on se rappelle comment les remplir. Les 4 cases blanches ci-dessus se calculent en complément de trois cases d’une ligne ou d’une colonne pour atteindre la somme n.
Voici les valeurs utiles à mettre dans les cases au départ…
La valeur « a » est à trouver d’abord. Pour les cases abcd, la succession se fait de 5 en 5 sauf pour « d » où il faut ajouter en plus « r ». Pour les cases efgh on reprend de 1 en 1 à partir de « a ». Pour « i » il faut un saut de 2 à partir de « h » car un saut de 1 redonnerait la valeur b. Les cases ijkl se suivent de 1 en 1.
Si on veut vraiment tout retenir sur les 16 cases, les formules adaptées pour les 4 dernières cases (m, n, o, p) sont les suivantes pour un remplissage progressif des 16 cases de a à p :
- Voici un exemple pas à pas pour fêter l’anniversaire de Papy qui a 79 ans.
On calcule 79-34 = 45, puis 45 = 4x11+1 donc q =11 et r =1.
La valeur inférieure du carré est 1+q=1+11 = 12, c’est la case « a ».
Puis b =12+5 = 17, c = 17+5 = 22, et comme r =1 on obtient d = 22+5+1 = 28.
Après « a =12 », les cases e, f, g, h valent 13, 14, 15, 16.
Ensuite un saut de 2 puis des valeurs de 1 en 1 qui sont i = 18, j=19, k=20, l=21.
On termine…
Première colonne la case vide vaut 79-19-13-20 = 27.
Troisième colonne la case vide vaut 79-17-22-15 = 25.
Deuxième ligne la case à droite vaut 79-27-12-17 = 23 ;
Dernière case en bas à droite : 79-20-18-15 = 26.
Voici le résultat, carré de somme magique 79 :
On peut remarquer qu’en plus de la somme 79 pour chaque ligne et chaque colonne, c’est aussi :
- La somme des quatre cases centrales 12+17+22+28 =79
- La somme des quatre coins : 19+14+20+26 = 79
- La somme sur chaque grande diagonale 19+12+22+26 = 79 et 20+28+17+14 = 79
- La somme des deux cases du milieu de chaque côté avec celles du côté opposé (27+13)+(23+16) = 79 ; (21+25)+(18+15) = 79.
- La somme de chaque quart de carré : en haut à gauche 19+21+12+27 = 79 ; en haut à droite 25+14+17+23 = 79 ; en bas à gauche 13+28+20+18 = 79 ; en bas à droite 22+16+15+28 = 79.
- La somme de deux fois deux demi-diagonales opposées (27+21)+(15+16 )= 79 ; et (13+18)+(25+23) = 79.
- Exemple 2 : « Construire un calendrier perpétuel » donnant le jour de la semaine correspondant à une date donnée. [On utilisera sans le dire des congruences modulo7]
- Vous donnez un calendrier à votre ami du style suivant :
- Vous lui demandez de choisir une date de cette année, et de vous la dire (exemple : 22 août 2009)
- Vous lui annoncez alors de quel jour de la semaine il s’agit ! (un samedi)
Comment réussir le tour ? Pourquoi réussit-il ?
À l’intérieur d’un mois, le même jour correspond à des dates qui se succèdent de 7 en 7.
Exemple en janvier 2009 les jeudis sont les 1, 8, 15, 22, 29 janvier. En enlevant 7 autant de fois qu’on le peut on transforme un nombre compris entre 1 et 31 en un nombre compris entre 1 et 7. Par exemple 25 devient 18, puis 11, puis 4 ; le 25 janvier tombe le même jour de la semaine que le 4 (ici dimanche).
D’un mois à l’autre il y a des changements. Comme janvier a 31 jours et que 31 = 28 + 3, il y a un décalage de 3 jours de semaine entre les mêmes dates de janvier et février. Par exemple le 25 février est un mercredi et non un dimanche comme le 25 janvier. Le décalage est 3, mais 1 jour après dimanche fait lundi, 2 jours cela fait mardi, et 3 jours cela fait mercredi.
Pour février il faut ajouter 3 au résultat qu’on aurait avec janvier.
Les corrections pour les mois se feront comme ci-dessous, de façon à se ramener à janvier pris comme origine :
Au mois de janvier 2009 les 7 premiers jours sont :
Voici comment procéder pour trouver le jour de la semaine correspondant à la date donnée :
Exemple: pour le 18 juillet 2009, on compte :
18 + 6 (juillet) = 24 = 21 + 3 donc on retient le nombre 3 et c’est un samedi.
Exercice: quel jour de la semaine correspond au premier mai ?
Comment adapter le tour ?
- Pour 2010 ? Le calendrier de 2009 comporte 365 jours soit 52 semaines complètes de 7 jours plus un jour. Il y aura un décalage d’un jour entre le calendrier de 2010 et celui de 2009. Vous changerez de tableau de référence des 7 premiers jours de l’année ainsi : 1 pour vendredi (au lieu de jeudi en 2009), 2 pour samedi, etc.
- Et pour 2011 ? Ce sera 1 pour samedi, 2 pour dimanche, etc.
- En 2012, il y a aura un souci avec l’année bissextile et l’existence d’un 29 février, mais vous aurez grandi, et vous irez lire la solution dans mon livre « 80 petites expériences de magie mathématique » (éditions Dunod) : vous pourrez trouver le jour de la semaine de n’importe quelle année future ou passée depuis 1900 sachant que le premier janvier 1900 était un lundi ! Il vous faudra tenir compte du nombre d’années bissextiles écoulées tous les 4 ans depuis 1904 (remarquons que 1900 n’était bissextile, mais que 2000 l’était).
Ensuite vous réfléchirez à comment programmer votre calculatrice pour qu'elle trouve de suite le jour de la semaine quand vous lui donnerez une date…
3f) La mathémagie, une possibilité de faire échanger des classes par des envois de petits Power Point de défis magiques mettant en valeur les maths.
Sur Internet j’ai eu la surprise de recevoir des fichiers de tour de magie que j’avais inventés et pratiqués avec des élèves il y a une vingtaine d’années… Exemples :
- « le lecteur de pensée », « le tour du portable », « qui est votre modèle » basés sur des propriétés de divisibilité par 9
- « Le tour de votre pointure de chaussures », « les barres chocolatées » basés sur la numération décimale et le calcul littéral
- « Tous les chemins mènent à Rome », « la disparue », basés sur la logique et l’organisation
- Le tour « l’assiette », basé sur des propriétés du parallélogramme et l’efficacité des vecteurs, etc. Vous pouvez me demander ces fichiers Power Point par Internet à l’adresse : dominique.souder@gmail.com
Faire ce genre d’échanges entre classes d’un même établissement ou d’établissements très éloignés est porteur de dynamique pour motiver des classes à s’investir davantage en mathématiques.
Le coût en matériel à investir est nul, mais cela peut rapporter gros en ouverture des élèves à positiver la pratique des mathématiques dans leur classe.
3g) Utiliser la mathémagie pour faire faire des mathématiques en commun, en rapport avec une leçon, avec un partage des tâches entre élèves, et déboucher sur quelque chose de gratifiant.
Voici une activité avec des calculs sur les relatifs aboutissant à la création d’un matériel pour faire un tour de magie : « Arabe ou romain ? »
Déroulement
Au lieu de peser en utilisant des masses déclinant le système décimal (1g, 10g, 100g, etc.) utilisons des masses correspondant aux premières puissances du nombre trois :
une masse de 1g, une de 3g, une de 9g, une de 27g.
Peut-on peser à l’aide d’une balance à plateaux tout objet ayant une masse entière entre 1g et 40g (soit le total des quatre masses mentionnées : 1+3+9+27 = 40) ?
La réponse est oui … En ajoutant certaines des masses, on observe qu’on peut peser facilement 4(=1+3), 10(=1+9), 12(=3+9), 13 (=1+3+9) et d’autres valeurs.
En pensant à utiliser la possibilité de mettre des masses dans les deux plateaux, on peut aussi peser par différence :
- ainsi 2g (= 3 - 1) s’obtient en mettant l’objet avec la masse de 1g dans un plateau qui s’ équilibre en mettant la masse de 3g dans l’autre plateau
- de même 5g (= 9 - 1 - 3) s’obtient en mettant l’objet avec les masses de 1g et 3g dans un plateau, qui s’équilibre avec la masse de 9g dans l’autre plateau,
- etc.
Le tableau ci-dessous donne la façon de procéder pour peser chaque masse de 1 à 40 g,
- le symbole 0 indique qu’on ne prend pas la masse,
- le symbole 1 indique qu’on pose la masse dans le plateau opposé à l’objet à peser
- le symbole - 1 indique qu’on met la masse dans le même plateau que l’objet à peser.
Nous allons utiliser maintenant ce tableau pour constituer quatre cartes :
- la première carte contiendra les nombres correspondant aux masses à peser qui nécessitent la présence de la masse de 1g , donc repérables dans la colonne de droite par un 1 ou - 1. Quand il s’agit d’un 1 le nombre sera écrit en noir et en chiffres arabes sur la carte, quand il s’agit d’un - 1, le nombre sera écrit en rouge et en chiffres romains sur la carte.
- La deuxième carte contiendra les nombres correspondant aux masses à peser qui nécessitent la présence de la masse de 3g , donc repérables dans la colonne « 3g » par un 1 ou - 1. Quand il s’agit d’un 1 le nombre sera écrit en noir et en chiffres arabes sur la carte, quand il s’agit d’un - 1, le nombre sera écrit en rouge et en chiffres romains sur la carte.
- La troisième carte contiendra les nombres correspondant aux masses à peser qui nécessitent la présence de la masse de 9g , donc repérables dans la colonne « 9g » par un 1 ou - 1. Quand il s’agit d’un 1 le nombre sera écrit en noir et en chiffres arabes sur la carte, quand il s’agit d’un - 1, le nombre sera écrit en rouge et en chiffres romains sur la carte.
- La quatrième et dernière carte contiendra les nombres correspondant aux masses à peser qui nécessitent la présence de la masse de 27g , donc repérables dans la colonne de gauche (« 27g ») par un 1 ou - 1. Quand il s’agit d’un 1 le nombre sera écrit en noir et en chiffres arabes sur la carte, quand il s’agit d’un - 1, le nombre sera écrit en rouge et en chiffres romains sur la carte.
Voici ce qu’on obtient :
Carte « 1g » :
Carte « 3g » :
Carte « 9g » :
Carte « 27g » :
Voici maintenant un tour de magie utilisant les quatre cartes que nous venons de fabriquer.
Le magicien s’adresse à un spectateur de son public…
- Choisissez un nombre entre 1 et 40…
- Tendez-moi successivement chacune des 4 cartes, en me disant :
- « arabe » si votre nombre est écrit en chiffres arabes sur la carte
- ou « romain » s’il est écrit en chiffres romains
- ou enfin « absent » si le nombre ne figure pas sur la carte.
- Je vais retrouver votre nombre…
Comment le magicien fait-il ?
Chacune des quatre cartes pèse soit 1g, soit 3g, soit 9g, soit 27g.
- Si le spectateur dit « arabe », ce qui correspond au symbole 1, le magicien ajoute la masse attribuée à la carte.
- Si le spectateur dit « romain », ce qui correspond au symbole - 1, le magicien enlève la masse attribuée à la carte.
- Si le spectateur dit « absent », ce qui correspond au symbole 0, le magicien ne compte rien pour cette carte.
Exemple 1 :
Si le spectateur dit : « arabe, arabe, romain, arabe », le magicien calcule :
1 + 3 - 9 + 27 = 22.
Le nombre choisi sera 22.
Exemple 2 :
Si le spectateur dit : « romain, absent, romain, arabe », le magicien calcule :
- 1 + 0 - 9 + 27 = 17.
Le nombre choisi sera 17.
Quand le spectateur indique les quatre mots il donne la décomposition de son nombre choisi à l’aide des valeurs 1, 3, 9, et 27 auxquelles sont attribuées les coefficients 1, - 1 ou 0.
Veillez bien à ce que le spectateur présente les cartes dans l’ordre 1g, 3g, 9g, 27g.
3h) Utiliser la mathémagie dans des petites séquences régulières de calcul mental de façon à renouveler l’intérêt par des présentations originales et ludiques, et de façon à montrer qu’un calcul se médite avant de le démarrer.
- Activités d’applications du « sesquimètre du couturière » : Ajouter des nombres consécutifs…
Voici un premier tour très facile à réaliser même pour les plus jeunes : « 20 à la file »
Déroulement :
- Je tends une feuille de papier et un crayon à mon copain. Je lui demande d’écrire verticalement une grande addition de 20 nombres entiers consécutifs (c'est-à-dire qui se suivent de 1 en 1 comme les nombres 3, 4, 5), ceci à l’écart de mes yeux…
- Je lui demande s’il a fini, s’il y a bien vingt nombres….
- Je viens vérifier.
- J’écris alors tout de suite en dessous des vingt nombres le total de leur addition !
Voici trois exemples :
Comment réussir ce tour ?
Prenons l’exemple ci-dessus à gauche. Imaginez que j’écrive l’addition en ligne, et non en colonne, des vingt nombres de deux façons : la première en présentant les nombres augmentant de 7 à 26, et la deuxième en les présentant diminuant de 26 à 7.
Maintenant si j’additionne les deux membres de gauche des deux égalités ci-dessus je trouve un nombre qui vaut deux fois mon total. Mais je m’aperçois que je peux additionner les quarante nombres de gauche en les regroupant verticalement deux par deux : 7+26, 8+25, 9+24, … jusqu’à 24+9, 25+8, 26+7. Chaque addition de deux nombres donne 33, et il y a vingt additions de la sorte ; leur total donne donc 33 x 20. Cependant ceci représente deux fois mon total donc celui-ci est seulement égal à 33 x 10 soit 330.
Conclusion : pour réussir le tour il me suffit d’additionner de tête le premier et le dernier des vingt nombres puis de placer un zéro à droite du résultat. Ainsi : 7+26 = 33, on place un zéro à droite, le total est 330.
Pour le deuxième exemple ci-dessus : 11+30 = 41, on place un zéro à droite, le total est 410.
À vous de trouver seul(e) le total des vingt nombres de l’exemple ci-dessus à droite.
Deuxième tour (du même genre mais plus personnalisé avec l’âge de votre ami).
Déroulement :
- Je tends une feuille de papier et un crayon à la personne qui veut bien jouer avec moi.
- Je lui demande son âge
- 13 ans
- Bon alors, tu vas écrire pendant que je me retourne 13 nombres entiers qui se suivent (le même nombre d’entiers que son âge). Tu commences à partir de n’importe quel entier que tu choisis comme tu veux… C’est fait ?
- Je reviens voir et j’écris le total des 13 nombres…
Comment réussir le tour ?
En imaginant les additions « en ligne » des nombres deux fois comme précédemment (une fois en augmentant, une fois en diminuant, l’une en dessous de l’autre), on a encore des additions verticales de deux nombres qui donnent le même résultat.
Comme pour le tour précédent il faut ajouter le premier nombre et le dernier nombre, mais ce résultat sera multiplié par l’âge (et non forcément par 20) pour donner deux fois le total cherché. Le travail sera plus difficile que de mettre un zéro à droite !
Il faudra donc multiplier par l’âge et diviser par 2 le total des nombres extrêmes. Ce qui revient à faire la moyenne des nombres extrêmes et la multiplier par l’âge. Selon les cas on fera cette division par 2 à la fin ou plus tôt pour faciliter les calculs.
Dans l’exemple ci-dessus à gauche :
6+18 = 24, ce total est pair donc facile à diviser par 2 ; moyenne = 24 : 2 = 12 ; de 6 à 18 il y a treize nombres (attention 18 – 6 = 12 mais il y a un nombre de plus que d’intervalles entre les extrémités, 12+1 = 13). Total final : 12 x 13 = 156.
Pour cette dernière opération de tête, vous pouvez songer que 13 = 10+3, donc 10 fois 12 donne 120 de plus 3 fois 12 donne 36, d’où 120+36 = 156.
Etudions maintenant le troisième exemple ci-dessus à partir de la gauche :
- de 5 à 18 il y a combien de nombres ? 18 – 5 = 13 ; 13+1 = 14
- combien vaut le total des extrêmes 5 et 18 ? 23
- le total étant impair, il vaut mieux diviser par 2 le nombre de nombres : 14 : 2 = 7
- le total final est 23 x 7 = 161.
Essayez seul (e) pour l’exemple ci-dessus à droite…a
Dans le cas où l’âge est un nombre impair, il y a une astuce supplémentaire !
En effet il y a alors un nombre qui est au milieu de tous les autres. Dans l’exemple de gauche avec 13 nombres de 6 à 18, le nombre 12 est au milieu, il y a six nombres plus petits (6, 7, 8, 9, 10, 11) et six nombres plus grands (13, 14, 15, 16, 17, 18). De plus ce nombre situé au milieu est la moyenne des nombres extrêmes (12 est la moyenne de 6 et 18). Vous pouvez donc repérer le nombre écrit au milieu et vous dispenser de calculer la moyenne des nombres extrêmes. Comment savoir vite s’il y a un nombre au milieu ? Cela arrive à chaque fois que l’âge de la personne qui joue avec vous est impair, vous le savez donc avant que les nombres soient écrits !
Ainsi pour 13 ans vous savez de suite qu’il suffira de repérer le nombre écrit au milieu des treize nombres et de le multiplier par 13.
Essayez seul (e) pour le deuxième exemple ci-dessus à gauche (où votre ami a 15 ans)…
Troisième tour : les cases en V.
Déroulement du tour :
- je demande à mon ami de me dire un nombre impair (donc finissant par 1 ou 3, 5, 7, 9)
- je dessine sur une feuille de papier autant de cases que le nombre indiqué, présentées sous forme de V. Par exemple pour 11 cases, celle située en bas du V sera la sixième, ce sera la seule sur sa ligne (pour trouver son numéro, ajouter 1 au nombre impair et diviser par 2 ; ainsi 11+1 = 12 et 12 : 2 = 6).
- je demande à mon ami de choisir un nombre entier de départ, de l’écrire en cachette de mes yeux dans la case la plus à gauche, puis de remplir de proche en proche, de gauche à droite, toutes les cases du dessin du V en ajoutant 1 d’une case à l’autre.
- A-t-il fini ?
- je reviens vers mon ami et sa feuille et j’écris instantanément un nombre
- je mets dans les mains de mon ami une calculatrice et je lui dicte tous ses nombres écrits en V, qu’il doit ajouter
- je lui fais vérifier qu’on arrive au total que j’avais écrit instantanément, et prédit.
Comment réussir le tour ?
Il suffit d’appliquer ce qui a été expliqué au deuxième tour pour un nombre impair de nombres écrits. La disposition en V a l’avantage de faire voir de suite au magicien quel est le nombre du milieu. Il reste à le multiplier par le nombre de cases du V.
Dans l’exemple de gauche (nombres de 7 à 17), le nombre du milieu est 12 et vous avez dessiné 11 cases ; vous calculez 12 x 11 = 132. (Je rappelle que 11 fois 12 c’est 10 fois 12 donc 120, auquel on ajoute une fois 12, d’où 120+12 = 132).
Essayez seul (e) pour le deuxième exemple ci-dessus à droite.
- Le tour « les 4 piles numériques » (pour additions paresseuses)
Les calculs ne sont pas tous aussi compliqués à effectuer qu’ils en ont l’air. Pour additionner 99 sans se fatiguer, par exemple, il suffit d’ajouter 100 et d’enlever 1 : pour calculer 68 + 99 je compte 68 + 100 = 168 puis 168 – 1 = 167.
Ou bien j’enlève 1 d’abord et j’ajoute 100 ensuite : 68 – 1 = 67 et 67 + 100 = 167.
Comment ajouter facilement 19 998 ? On ajoute 20 000 et on enlève 2.
Cette idée permet de réaliser ce tour de magie, dans lequel un calcul qui paraît compliqué est en fait d’une grande simplicité.
Le matériel:
Pour ce tour, il vous faut quatre bâtons à base carrée, où sont écrits sur chacune des quatre faces latérales, l’un sous l’autre, les quatre chiffres donnés par le tableau de la figure 1.
Déroulement du tour
Les quatre bâtons sont disposés sur une table, au gré du spectateur, les uns à côté des autres et alignés de façon à faire voir sur leur dessus quatre lignes horizontales de nombres de quatre chiffres. Par exemple, si le spectateur choisit de placer les bâtons dans l’ordre du tableau de la figure 1 et de faire voir pour chaque bâton la face latérale correspondant à la colonne de gauche, il lira les nombres 7234, 6995, 3543, et 5769.
Le magicien tend une calculatrice au spectateur, qui doit ajouter les quatre nombres affichés. Puis il donne le total instantanément, avant la machine !
Quel est le truc ?
Chaque bâton est tel que la somme sur chaque face latérale des deux premiers chiffres et du quatrième fasse toujours 18. Par exemple, pour la face visible du premier bâton, on a bien : 7+6+5=18. Pensons aux additions par colonnes : la somme des 1er, 2e et 4e nombres du bâton de droite est 18 (colonne des unités), celle du bâton juste à sa gauche 180 (colonne des dizaines), puis celle du précédent 1 800 (colonne des centaines) et enfin celle du bâton de gauche 18 000 (colonne des milliers). En tout, la somme des lignes 1, 2 et 4 vaut donc : 18 000 + 1 800 + 180 + 18 = 19 998.
Pour ajouter les quatre nombres, le magicien n’a donc qu’à regarder le troisième nombre horizontal de quatre chiffres, et lui ajouter 19 998. Or 19 998 = 20 000 – 2 donc ajouter 19 998 à un nombre de quatre chiffres, c’est écrire un 2 devant lui et enlever 2 à son chiffre des unités. Dans l’exemple ci-dessus, le magicien regarde le 3e nombre : 3543. Il calcule 3 543-2 = 3 541, puis écrit un 2 à gauche. Résultat : 23 541. Beaucoup plus rapide à obtenir que de taper les quatre additions sur une calculatrice !
Encore plus fort !
Voici une variante à ce tour, qui permet de paraître vraiment magicien : on fait tenir debout les quatre bâtons au lieu de les poser à plat, et le magicien se place de l’autre côté des bâtons, de façon à ne pas voir les nombres que le spectateur doit additionner. (Voir les 2 photos)
Cela semble lui rendre la tâche impossible, mais avec un peu d’astuce, cela ne rajoute en fait aucune difficulté. Comment concevoir les barres chiffrées pour réussir cette variante ?
Photos des deux côtés : côté spectateur… et côté magicien
Partons des bâtons précédents en ne gardant que les niveaux 1, 2 et 4 (et leur trucage de somme 18 par colonne). L’idée est de remplir le niveau 3 en « recopiant » à chaque fois dans la case le chiffre qui se trouve sur le niveau 2 de la face opposée. Sur la figure 2, on voit bien l’échange entre les lignes 2 et 3 des faces à fond bleu ou orange.
Pour trouver le résultat, le « magicien » n’aura alors plus qu’à lire les chiffres du niveau 2 de son côté (et donc du niveau 3 côté spectateur) de droite à gauche (et non de gauche à droite comme du côté spectateur), puis d’appliquer la même règle (mettre un 2 en dizaine de mille et enlever 2 des unités).
Prenons l’exemple de la figure 4 :
Si le magicien était à côté du spectateur il utiliserait la 3e ligne : 9828, et calculerait : 29 828 – 2 = 29 826. Le magicien situé du côté opposé à celui du spectateur voit à la 2e ligne : 8289, il renverse les chiffres en 9828, et calcule : 29 828 – 2 = 29 826. Renversant, non ?
Vous pouvez vérifier pour toutes autres dispositions des barres (en les faisant pivoter sur leur base) la validité de la méthode liée à la construction de ces objets mathémagiques, et imaginer d’autres variantes…
3i) Des exemples de tours mathémagiques qui sont des manipulations permettant d’appréhender des situations et des mouvements de géométrie dans l’espace.
On peut faire divers tours utilisant des quarts de tours ou des rotations avec un dé.
- En voici un où il va être question de « Quart de tour dans l’espace, en avant ou à droite, de périodicité et d’invariant… »
Déroulement
Le magicien pose un dé ordinaire sur la table, devant un spectateur, une face bien parallèle à son ventre, et explique que pendant le tour ce dernier ne pourra le bouger que de deux façons :
- soit un quart de tour en avant si le nombre indiqué sur la face supérieure du dé est impair (1, 3 ou 5)
- soit un quart de tour vers la droite si le nombre indiqué sur la face supérieure du dé est pair (2, 4 ou 6)
Le magicien se détourne de la table, et propose au spectateur de démarrer en plaçant le dé pour y lire une autre face supérieure que celle que lui, le magicien, avait vue. Ensuite le magicien commande au spectateur de faire un quart de tour selon la règle expliquée plus haut, puis un autre, etc. : ceci une douzaine de fois de file.
Il demande alors au spectateur : pouvez-vous me dire quelle est la face supérieure de votre dé ? Celui-ci répond, et le magicien lui demande de faire un quart de tour encore selon la règle, un autre, puis encore un autre… Là, le magicien dit qu'il a deviné quel est le nombre indiqué maintenant sur la face supérieure du dé.
Explication:
La plupart des dés sont fabriqués avec la fameuse règle d'avoir pour les faces opposées la somme 7, mais aussi, quand on regarde le dé de façon à voir trois faces en même temps et le 1 en face supérieure, la possibilité de lire le 2 à gauche et le 3 à droite. Si votre dé n'est pas fabriqué et orienté ainsi, il faudra revoir les explications suivantes.
Pour chaque valeur supérieure possible (de 1 à 6) il y a quatre valeurs possibles sur la face qui touche le ventre du spectateur (les faces de dessous et de dessus ne sont pas concernées). On peut étudier les 6×4 = 24 cas possibles de situation de départ du tour, et noter tout ce qui arrive en respectant la règle : quart de tour avant quand le résultat du dé est impair et quart de tour à droite quand le résultat du dé est pair.
Dans tous les cas on remarque qu'après un démarrage variable plus ou moins long, il y a une périodicité de retour des valeurs 321456 dans cet ordre, mais la période commençant avec un 3 (soit 321456) ou un 2 (elle vaut alors 214563) ou un 1 (elle vaut 145632) ou un 4 (soit 456321) ou un 5 (pour 563214) ou encore un 6 (pour 632145)…
Pour être sûr que la période est commencée il faut attendre au pire la quatrième valeur de la face supérieure, et donc à partir de la cinquième valeur le magicien peut deviner le nombre qui apparaît s'il connaît le précédent. Celui qui suit le 2 est 1 celui qui suit le 1 et 4, celui qui suit le 6 est 3, etc. Si le magicien laisse passer deux quarts de tour après que le spectateur lui ait donné une valeur, alors après le 2 ce sera 4, après le 1 ce sera un 5, après le 6 ce sera le 2, etc.
Astuce de présentation :
Je préfère laisser passer trois quarts de tour après que le spectateur ait donné une valeur, car alors : trois coups après le 1 c’est le 6 (donc son complément à 7) et vice versa, trois coups après le 2 c’est le 5 (son complément à 7) et vice versa, trois coups après le 3 c’est le 4 (donc son complément à 7) et réciproquement.
Cette tactique est très facile à retenir.
Si l’on envisage la période des six chiffres 321456 dessinée en cercle où les valeurs soient régulièrement espacées, on a des valeurs diamétralement opposées dont la somme fait 7 : le 1 et le 6, le 2 et le 5, le 3 et le 4. Et passer en tournant d’une valeur à celle diamétralement opposée correspond à faire trois coups supplémentaires dans le jeu.
La réussite du tour pour le magicien tient au calcul de façon invariante du complément à 7 du nombre donné par le spectateur trois coups avant.
- Expériences de topologie récréative (le célèbre ruban de Möbius, divers flexagones, etc.)
Notre intuition est souvent surprise par le nombre de faces que peut avoir un objet. Si le ruban de Möbius n’a qu’une face, les flexagones en ont de cachées. Dans les flexagones ces faces cachées sont une découverte merveilleuse pour de jeunes yeux pas forcément habitués à regarder l’espace…
Le hexa-tétra flexagone
- « tétra » correspond au fait que l’objet fini a des faces ayant 4 côtés (ce sont des carrés constitués de 4 petits carreaux)
- « hexa » correspond au fait que les faces pourront avoir 6 couleurs différentes.
Voici un patron de hexa-tétra flexagone : il est construit à partir d’un carré de 4x4 = 16 carreaux dont on a évidé (enlevé) les 2x2 = 4 carreaux au centre.
Attention à l’étape n° 5 : en prenant le coin droit du bas de l’étape 4 on plie facilement mais il faut faire passer à gauche sous le coin bas gauche de l’étape n°4, sans avoir peur de tordre le papier.
Une fois l’objet construit, qui semble aplati, intéressons-nous aux diverses faces… Commencez par numéroter 1 la face qui est devant vous (écrire 1 sur les quatre carreaux de cette face). Par diverses flexions tenant compte des coupures de papier sur un axe on fait apparaître d’autres faces successivement (de 4 carreaux chacune) qu’on peut numéroter 2, 3, 4.
Mais ensuite il est possible que vous reveniez à la face 1. Pourtant il y a bien 6 faces à découvrir. Il va vous falloir chercher si, à partir de la face 1 on peut aller vers une face inconnue différente de 2. Si non, allez sur la face 2 et cherchez si vous pouvez poursuivre sur une autre face que 3. Si non allez sur la face 3 et cherchez si vous pouvez poursuivre sur une autre face que 4. Si non aller sur la face 4 et cherchez si vous pouvez poursuivre sur une autre face que 1. Il y a un moment où vous découvrirez une nouvelle face qu’on numérotera 5 puis, dans la foulée vous trouverez la face 6.
Vous pouvez obtenir le parcours suivant :
Ce n’est pas un cycle : on ne peut pas parcourir les 6 faces différentes à la file et revenir au point de départ. Mais si vous partez de 4 par exemple vous pourrez parcourir les six faces différentes sans repasser par une même face : 4-1-2-3-5-6 ; simplement ensuite vous repassez par 2 et non par votre départ 4. S’il est plus probable que, dans votre recherche initiale des faces, vous n’en trouviez que 4 dans un premier temps, il y a quand même possibilité d’en enchaîner 6 différentes ; ceci arrive si l’on part de 4 (voir 4-1-2-3-5-6) ou de 5 (voir 5-6-2-3-4-1), mais pas si l’on démarre des autres numéros de faces.
Ce flexagone cache donc 4 faces supplémentaires, mais il existe beaucoup d’autres flexagones, et il n’y a pas de limitation théorique de leur nombre de faces.
3j. Des tours mathémagiques qui sont des travaux de déduction tels des enquêtes policières, permettant de développer un raisonnement scientifique et logique sans apprentissage préalable d’une théorie avec panoplie de théorèmes.
- Le tour « le total des 5 cubes »
Le magicien prête une calculatrice à un spectateur pour qu’il obtienne le total de l’addition de cinq nombres de trois chiffres. Le magicien, qui calculera lui de tête, défie le spectateur de donner la réponse avant lui.
Le magicien demande au spectateur de bien vouloir lancer en même temps les cinq cubes, qui fourniront les cinq nombres à additionner. Le magicien donne alors instantanément le total et gagne toujours… (On peut recommencer le jeu avec divers lancers qui ne donnent pas le même total).Sachant que le magicien n’est pas un calculateur prodige, comment fait-il ?
Aides éventuelles :
1) Quel est le chiffre des dizaines sur chaque cube ?
2) Quelle est la somme des cinq chiffres des dizaines des cinq cubes ? Quel est son chiffre des unités ?
3) Comparer la somme des chiffres des unités des nombres sortis sur les cinq cubes et le chiffre des dizaines du total des cinq nombres.
4) Calculer la somme du chiffre des unités et du chiffre des centaines de tous les nombres inscrits sur les faces de cube
5) Comparer la somme des chiffres des unités des cinq nombres obtenus avec la somme des cinq chiffres des centaines et de la retenue due à la somme des chiffres des dizaines.
Solution :
Les nombres d’un même cube ont le même chiffre des dizaines : 2, 3, 4, 5 ou 6. La somme des cinq chiffres des dizaines des cinq nombres obtenus est toujours 20, qui finit par un zéro.
Le total des chiffres des unités des cinq nombres obtenus va avoir pour retenue un chiffre des dizaines qui va être ajouté à zéro dans l’addition : le résultat de l’addition des cinq nombres finira donc par deux chiffres à droite qui correspondent au total des chiffres des unités.
Pour chacun des 4x6 = 24 nombres de quatre cubes, le total du chiffre des centaines et du chiffre des unités est 10 ; pour le cinquième cube et ses six nombres, ce total est toujours 8. Dans la somme des cinq nombres, le nombre de centaines obtenu est le total des cinq chiffres des centaines et de la retenue de 2 due au total des dizaines, d’où le total du nombre des centaines et du nombre des unités est : 4 x 10 + 8 + 2 = 50. Pour avoir l’écriture des deux chiffres de gauche du total, il faut faire la différence entre 50 et le total des chiffres des unités.
Exemple, si les cinq nombres sortis sont 228, 733, 842, 654, 662 :
- le magicien ajoute les unités : 8+3+2+4+2 = 19.
- l’écriture du total finira donc à droite par 19.
- le magicien calcule 50 - 19 = 31 : ce sera les deux chiffres de gauche du résultat.
- le total de l’addition est 3119.
Liste non limitative… A vous de poursuivre !
La semaine prochaine le dernier volet de cette saga mathémagique avec une bibliographie et un dossier complet à télécharger...