La mathémagie 1/3

Auteur : Dominique Souder

Editeur : Frédéric Jaëck. Toute reproduction pour publication ou à des fins commerciales, de la totalité ou d'une partie de l'article, devra impérativement faire l'objet d'un accord préalable avec l'éditeur (ENS Ulm). Toute reproduction à des fins privées, ou strictement pédagogiques dans le cadre limité d'une formation, de la totalité ou d'une partie de l'article, est autorisée sous réserve de la mention explicite des références éditoriales de l'article.

1) Qu’est-ce que la mathémagie ?

Voici 2 exemples de tours de magie qui réussissent de façon automatique grâce aux maths et à la logique : « le sesquimètre de couturière » (sur le thème des suites arithmétiques), « le L de Fibonacci » (les bienfaits du calcul littéral et du calcul mental astucieux).

1a) Le sesquimètre de la couturière.

De nos jours les mamans ont rarement le temps de confectionner leurs robes après avoir réalisé un patron, mais toutes doivent avoir un ruban souple qu’on appelle un « mètre » ou un « centimètre » de couturière, gradué de 1 à 150 sur les deux faces, et qui, donc, en fait mesure 1,50 m. Il faudrait l’appeler « sesquimètre » car « sesqui » veut dire « un et demi ».

Le tour suivant nécessite deux spectateurs pourvus chacun d’un petit papier blanc, d’un crayon et d’un trombone, et bien sûr un « sesquimètre ».

Vous êtes le magicien, et vous proposez de faire un tour à deux de vos amis.

Vous inscrivez sur une feuille de papier le nombre 302 ; pliez la feuille, et placez-la en évidence sur la table en disant que vous faites une prédiction.

Demandez à votre premier ami de placer sur le « sesquimètre » son trombone à cheval, à l’endroit qu’il veut, et de noter sur son papier le nombre du ruban apparaissant sur la face terne du ruban. Demandez à votre deuxième ami de faire de même avec son trombone et son papier. Repassez le sesquimètre au premier ami et demandez-lui de noter le nombre qui apparaît cette fois-ci sur la face brillante du ruban, de l’autre côté du trombone du deuxième ami. Repassez le sesquimètre au deuxième ami et demandez-lui de noter le nombre qui apparaît sur l’envers du trombone du premier ami. Demandez à vos deux amis de faire maintenant l’addition des deux nombres qu’ils ont chacun sur leur papier.

Sur l’exemple de la photo, il faut donc ajouter 56 +103 = 159 d’une part, 48+95 = 143 d’autre part, puis finir par l’addition des deux totaux : 159+143 = 302.

Déployez votre prédiction : c’est le même total : 302 !

Comment avez-vous fait ?

Observez sous un trombone les deux nombres écrits sur le ruban l’un sur l’extérieur, l’autre sur l’intérieur : la numérotation de 1 à 150 est inversée sur les faces intérieure et extérieure du ruban. Vérifiez que le total de deux nombres sur les faces opposées du ruban est toujours 151 (en cm) : 150+1=149+2=148+3=…= 60+91, etc.

Deux trombones conduisent à additionner deux fois 151, donc à obtenir 302. Le croisement des nombres à ajouter (l’endroit de l’un des trombones, l’envers de l’autre) permet que tout le monde ne trouve pas 151, et que le « truc » du tour ne soit pas évident trop vite…

Pour qui enseigne les suites arithmétiques en classe de première, le tour précédent peut être une excellente introduction. Il donne l’intuition de ce qu’il faut faire pour obtenir la formule générale donnant la somme de termes d’une suite arithmétique. Il faut penser à ajouter les premier et dernier termes, ensuite à multiplier par le nombre de termes et enfin diviser par 2. Nul besoin de notations difficiles à comprendre et de formule à apprendre si on a compris. Après le tour, si on demande à un élève quelle est la somme des deux cents premiers entiers (de 1 à 200), celui-ci peut imaginer un ruban gradué cette fois de 1 à 200 d’un côté et de l’autre côté de 200 à 1. Il imaginera les 200 positions possibles d’un trombone dont le total donnera toujours 201 quelle que soit sa position. C’est naturellement qu’il pensera à ajouter le premier terme et le dernier (ce qui donnera 201) de la somme demandée, et à multiplier par 200, puis à diviser par 2 pour obtenir le total des nombres de 1 à 200 écrits sur une face du ruban.

1b) Le L de Fibonacci

Une suite de Fibonacci est une succession de nombres dont les deux premiers sont laissés au choix, et dont chaque nombre à partir du troisième est la somme des deux nombres qui le précèdent. Certaines propriétés des suites de Fibonacci permettent de réaliser des tours de magie. La plus connue est sans doute celle-ci :

« la somme de 10 termes successifs est égale au septième terme multiplié par 11 ».

Elle peut être présentée sous la forme d’un tour de magie ainsi…

Le magicien propose à un spectateur d’écrire 2 nombres de son choix dans les 2 cases du haut d’un ensemble de 10 cases en forme de L, et ensuite de poursuivre de proche en proche le remplissage des cases du L en respectant la règle qu’un nombre doit être la somme des deux précédents. Le magicien peut se tenir éloigné, et ne revenir qu’une fois le travail terminé.

Il annonce alors de suite le total des 10 cases.

Le spectateur vérifie laborieusement, éventuellement avec une calculatrice.

Le travail du magicien consiste simplement à jeter un œil au 7^e terme, qui se trouve être l’angle du L et donc facile à repérer, et à le multiplier de tête par 11 (par exemple en le multipliant par 10, et en ajoutant le nombre en question).

Pour le L de gauche, on multiplie le coin 178 par 11 et on trouve 1958.

L’intérêt pédagogique principal de ce tour est qu’il montre l’utilité et la puissance du calcul littéral pour la justification de la réussite du magicien quels que soient les choix de nombres par le spectateur.

En appelant a puis b les 2 premiers termes, on calcule les autres cases, on fait la somme des 10 cases et on trouve 55a+88b. On compare avec le 7^e terme qui vaut 5a+8b et on vérifie que 11(5a+8b)=55a+88b. Le total des dix cases peut être obtenu en multipliant par 11 la valeur facilement repérable de la case qui fait le coin du L. Un intérêt supplémentaire du tour est de faire faire du calcul mental, en déclinant diverses façons de multiplier par 11 de tête (utiliser la distributivité ou le procédé basé sur l’écriture avec les chiffres à ajouter de la droite vers la gauche), et d’en profiter pour ensuite entamer des activités de calcul réfléchi.

1c) Voici maintenant un découpage qui permet de donner de bonnes images mentales de notions abstraites qu’on a parfois du mal à distinguer : l’aire et le périmètre.

« La légende de la fondation de la ville de Carthage. »

Le magicien présente une banale feuille de papier 21 ´ 29,7 cm à son public et lance le défi suivant : découpez avec ces ciseaux un trou à l’intérieur de cette feuille de façon que je puisse passer debout à travers !

Devant les yeux écarquillés de l’assistance et le manque de volontaire pour relever le défi, il indique qu’il va raconter une histoire dont la conclusion donnera la solution du défi…

En l’an 814 avant Jésus Christ, le royaume de Tyr (actuellement au Sud-Liban) avait à sa tête le roi Mutto, lequel avait deux enfants : Didon, l’aînée, et Pygmalion, le cadet. Le roi meurt. Pour monter sur le trône, Didon devait être mariée à un grand prêtre. Elle décide de prendre le pouvoir et donc épouse le grand prêtre Sicharbas ; deux jours après le mariage, celui-ci est assassiné. Didon fait faire une enquête discrète qui révèle que son frère Pygmalion est le responsable, son but étant de monter sur le trône. Didon décide alors de quitter son pays pour échapper à la soif (meurtrière) de pouvoir de son frère. Elle part en bateau vers l’ouest avec des amis fidèles.

Elle fait une escale en Afrique, sur une presqu’île qui fait partie maintenant du pays qu’on appelle Tunisie. Les indigènes ont à leur tête Iarbas : Didon lui demande l’hospitalité, mais aussi, pour elle et ses amis, « autant de terre que peut en contenir la peau d’un bœuf ». Iarbas se montre généreux mais peut-être pas très malin : Didon effectue le découpage en bandes fines de la peau de bœuf selon la tactique et le dessin qui suivent, et déplie…

(Découper selon les traits rouges et selon les traits pointillés, sans dépasser. Avec de l’entraînement, on peut partir d’une feuille blanche, la plier en deux, découper le pli au centre en laissant intactes les extrémités du pli, puis faire des découpes parallèles à la largeur, démarrant alternativement d’un bord et de l’autre. Attention à avoir un nombre impair de découpes parallèles, au moins 13 pour obtenir une hauteur d’homme).

Le contour, par les bandelettes de peau, de la terre cédée à Didon se révèle suffisamment long pour que Didon puisse s’installer à l’intérieur et fonder Qart Hadasht (la nouvelle ville), autrement dit la ville de Carthage

Le magicien a exhibé sa feuille découpée et est passé au travers à la fin de son discours, relevant lui-même son défi. Les matheux savent bien que l’aire et le périmètre ce n’est pas la même chose, et se rendent compte que si la feuille n’a pas changé d’aire pendant le découpage, le périmètre par contre est devenu très grand. Certains profs seraient même prêts à faire calculer à leurs élèves le nombre de découpes à faire dans la feuille pour que ce soit un éléphant qui passe au travers de celle-ci !

L’intérêt de ce tour de magie est donc, sans avoir l’air d’y toucher, de donner des images mentales différenciées des notions délicates de périmètre et d’aire.

Les tours de magie mathématique présentés sont reproductibles par tous. Ils utilisent les mathématiques, et peuvent les faire vivre ; ils donnent de bonnes images mentales de notions ou problèmes que l’enfant pourra rencontrer dans sa scolarité, et développent ainsi son intuition. Ils ne nécessitent, pour la plupart, qu’un matériel simple à se procurer, ce qui favorise l’appropriation par les enseignants qui voudraient s’y intéresser, et ce qui permet aux élèves de les refaire à la maison en famille ou avec des amis, de façon très valorisante pour eux. Cette situation peut également contribuer à véhiculer autour des enfants l’idée positive que les mathématiques peuvent être, aussi, un talent de société.

2) La mathémagie en club

Je l’ai longtemps pratiquée en collège, entre midi et 14h : les élèves ne pouvant sortir et mangeant très vite, ce club leur offrait en mi-journée une coupure si ludique et passionnante que j’ai dû très vite refuser du monde…

Voici un petit tour nécessitant un petit matériel facile à fabriquer et de coût nul…

« Pions bicolores et équation linéaire à 2 inconnues »

Ce tour utilise 8 pions ayant le recto de couleur blanche et le verso de couleur rouge, et sur lesquels sont écrits 16 nombres différents…

Déroulement

Le spectateur est invité à lancer en l’air les 8 pions : certains retombent face blanche, d’autres faces rouges. Le magicien donne instantanément le total des 8 nombres visibles sur les faces supérieures. Le spectateur vérifie avec une calculatrice. On recommence l’expérience, plusieurs totaux différents peuvent apparaître, mais le magicien est toujours aussi vif et efficace. Comment fait-il ?

Solution

On peut commencer à réfléchir en plaçant d’abord 4 pions sur leurs faces blanches et 4 autres pions sur leurs faces rouges : le total des 8 nombres est alors 444. On peut ensuite faire plusieurs essais de lancers : le total est toujours dans les 400 et quelques…

Observons ensuite chaque pion : la valeur sur fond rouge est toujours inférieure de 9 à la valeur sur fond blanc. Si l’on tourne un pion à fond rouge (n’importe lequel) pour qu’il devienne blanc, la valeur du total augmente de 9.

Le truc du tour est le suivant : le total des 8 valeurs visibles est toujours entre 400 et 499, son chiffre des centaines est toujours 4 ; le nombre de pions côté blanc donne le chiffre des dizaines, le nombre des pions côté rouges donne le chiffre des unités. Par exemple si l’on voit 5 faces blanches et 3 faces rouges, le total des 8 nombres est 453.

Changer du rouge vers le blanc diminue de 1 le chiffre des unités (le nombre de rouges baisse de 1) et augmente de 1 le chiffre des dizaines (le nombre de blancs augmente de 1) : le bilan pour le total des nombres est : -1 +10 = +9 ce qui correspond au décalage des valeurs sur les faces rouge et blanche.

Prolongement

Inventez vos pions : trouvez quelles valeurs écrire si vous souhaitez maintenant fabriquer un jeu de 10 pions bicolores sur le même principe !

Vous allez commencer par souhaiter que 5 côtés blancs et 5 côtés rouges aient pour total 555, et conserver dans l’idée que le nombre de blancs sera le chiffre des dizaines et le nombre de rouges le chiffre des unités. Vous conservez donc l’idée que sur chaque pion la valeur sur fond blanc sera supérieure de 9 à la valeur sur fond rouge.

Quels nombres choisir ?

Pour se simplifier la vie, ajoutons une contrainte ! (Quel paradoxe !)

Imaginons qu’on passe d’un pion à l’autre, sur la face rouge, par une augmentation régulière. Mettons que la plus petite des valeurs sur fond rouge (parmi les 10 pions) soit égale à x, et qu’on augmente régulièrement d’une valeur y pour avoir les autres valeurs rouges. Celles-ci vaudront (x+y), (x+2y), etc. jusqu’à (x+9y). Les valeurs sur fond blanc vaudront : (x+9), (x+9+y), (x+9+2y), etc. jusqu’à (x+9+9y).

Prenons les 5 plus petites valeurs rouges et les 5 plus grandes valeurs blanches : leur total est : (10x + 45y + 45) et cela doit faire 555.

On simplifie en : 10x + 45y = 510 puis en : 2x + 9y = 102.

C’est une équation linéaire du premier degré à deux inconnues x et y (qui doivent être des nombres entiers). On peut remarquer que 9y sera égal à (102 – 2x) soit 2(51-x) et donc que 9y doit être un nombre pair. Il faut donc choisir pour y un nombre entier pair. On envisage ce qui peut se passer à partir de y = 2, avec pour valeur associée x = 0,5(102-9y)…

Il n’y a pas d’autre solution, car à partir de y =12 le calcul de x donnerait un nombre négatif.

Vous pouvez donc fabriquer vos pions ainsi de 5 façons différentes.

Par exemple : pour x =15 et y = 8 les pions seront les suivants…

Mais vous pouvez choisir une autre solution parmi celles proposées ci-dessus : une seule équation linéaire à deux inconnues, cela laisse de la liberté !

Voici maintenant un exemple concret de situation-problème qui peut être résolu de diverses façons selon le niveau d’étude et l’âge des élèves du club, avec généralisation, et découverte d’une formule à un niveau supérieur d’études : « La légende du mathémagicien, et la formule d’élimination d’une carte sur deux ».

Le magicien s’adresse à un petit garçon timide qu’il veut encourager à faire de la magie mathématique :

voilà un jeu de 52 cartes, je ne regarde pas, tu choisis celle que tu veux, tu te rappelles son nom, tu la mets sur la table face cachée, puis tu poses dessus le nombre de cartes qu’il faut pour épeler son nom, une carte par lettre. Je ne te regarde pas, fais-le.

Le petit garçon avait choisi le deux de cœur, il a posé dessus les cartes en s’appliquant :

d-e-u-x-d-e-c-o-e-u-r, et il a obtenu un petit paquet.

Le magicien s’est retourné et a dit :

je ne connais pas ta carte, je ne connais pas le nombre de cartes de ton petit paquet, mais voilà ce que tu vas faire :
si ta carte est rouge tu fais passer du dessus vers le dessous une à une les cartes en épelant r-o-u-g-e, si elle est noire tu épèles n-o-i-r-e (une carte par lettre nécessaire).
Ensuite ta carte est-elle haute (de 10 à l’as) ou basse (de 2 à 9), tu épèles soit h-a-u-t-e soit b-a-s-s-e, en faisant passer les cartes de haut en bas une à une.
Enfin, ta carte est-elle à points ou une figure ? Tu épèles « points » (avec un s à points) ou « figure », en faisant passer les cartes une à une.
Tu es d’accord que je ne peux pas retrouver facilement ta carte dans ce paquet

mélangé ? Et pourtant je vais y arriver, en fait tu vas la retrouver toi-même mais bien sûr elle va se cacher, ce sera la carte de ton paquet qui restera la dernière dans la manipulation que je te demande de faire…

Le magicien a dit :

Tu jettes sur la table la carte de dessus, tu fais passer la suivante en dessous de ton paquet.
Tu jettes sur la table la carte de dessus, tu fais passer la suivante en dessous de ton paquet. Et ainsi de suite jusqu’à ce qu’il ne te reste qu’une seule carte en main.

Le petit garçon l’a retournée : c’était bien le 2 de cœur qu’il avait choisi.

Bien sûr il a refait le tour, avec n’importe quelle carte, et ça a toujours marché !

A la maison, le petit garçon a refait le tour à sa famille. Le père du petit garçon a vu combien cela lui faisait plaisir de réussir ce tour, et sans rien lui dire il a cherché dans une librairie un livre de magie mathématique ; il en a trouvé et acheté un, et ce bouquin a changé la vie du petit garçon : « Mathématiques, magie et mystère » par Martin Gardner, vulgarisateur scientifique américain récemment disparu. D’une certaine façon, ensuite, la magie a conduit le petit garçon à étudier les mathématiques…C’était la légende de la vocation d’un mathémagicien.

Pourquoi ce tour réussit-il automatiquement ? Y a-t-il des mathématiques là-dedans ?

Cherchez toutes les longueurs possibles de noms de cartes, les nombres possibles de cartes du paquet, puis en quelle position pourra se trouver la carte choisie dans ce paquet après les trois opérations.

Ensuite étudiez dans tous les cas le procédé d’élimination décrit pour voir quelle est la carte qui reste : vous pouvez utiliser des papiers numérotés à la place des cartes... Ou bien un dessin fait sur un papier avec un crayon.

Votre démarche sera celle d’un enquêteur scientifique comme dans la résolution d’un problème mathématique.

Enquêtons :

combien de cartes possibles dans les tas selon les différents noms ?
quel effet ont les choix « rouge ou noire, etc. » ?
en quelle position se trouve la carte choisie, selon la taille du tas ?
quand on élimine, quelle carte reste, selon la taille du tas ?

Pour des élèves plus âgés, poursuivons la réflexion sur l’élimination :

pour des petits nombres de cartes (de 2 à 13, voire 26) concrètement
avec papier crayon, en barrant sur un cercle de nombres

Et encore, pour des élèves de niveau première :

Que donne comme carte finale l’élimination avec un nombre de cartes égal à une puissance de 2 ?
ou avec une puissance de 2 augmentée de 1, de 2, etc. (récurrence ?)
vérification d’une formule 2(x-2ⁿ) où x est le nombre de cartes et 2ⁿla plus grande puissance de 2 inférieure strictement à x.

En club, par analogie et extension, les élèves peuvent imaginer et créer de nouveaux jeux ou objets mathémagiques personnalisés (voir les pions bicolores), qui selon les choix du professeur et de l’enfant seront plus faciles ou plus compliqués.

Les tours peuvent donc développer la créativité de tout un chacun.

Ensuite, en les reproduisant devant un public, les capacités d’argumentation et de communication augmentent, ainsi que la confiance en soi (voir le tour d’élimination d’une carte sur deux). La mathémagie devient un sport complet, où les mathématiques conduisent à un épanouissement personnel.

Fin de la première partie... rendez-vous la semaine prochaine !