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Question du jeudi #64 : Parmi les nombres $101$, $10101$, $1010101$, $101010101$, etc., lesquels sont premiers ?

$101$ est premier, mais nous allons montrer que les suivants ne le sont pas.

En effet, le nombre avec $p$ zéros est
\[ N(p) = \sum_{i=1}^p 100^i = \frac{100^{p+1} - 1}{99}.\]

Or,
\[ 100^{p+1} - 1 = (10^{p+1})^2 - 1 = (10^{p+1} - 1) \times (10^{p+1} +1),\]
donc
\[N(p) = \frac{(10^{p+1} - 1) \times (10^{p+1} +1)}{99}.\]

Le nombre $10^{p+1} - 1 = \underbrace{999\ldots 999}_{\text{$p+1$ chiffres}}$ est toujours divisible par $9$. Comme $11$ est un nombre premier, il divise au moins l'un des deux facteurs $10^{p+1} \pm 1$, d'après le lemme d'Euclide.

Ainsi, dès que $p \geq 2$, les deux facteurs $10^{p+1} - 1 \geq 999$ et $10^{p+1}+1 \geq 1001$ sont supérieurs à $99$, donc on obtient une factorisation non triviale qui peut être de l'une des deux formes suivantes :
\begin{align*}
\frac{10^{p+1}-1}{99} \times (10^{p+1} + 1),& \text{ ou } \frac{10^{p+1}-1}9 \times \frac{10^{p+1} + 1}{11}.
\end{align*}

Le logo de cette question est une capture d'écran du site isthisprime.com qui permet de tester la primalité d'un nombre et de vous entraîner à le faire vous-même.