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Question du jeudi #51 : Résoudre (à la main !) l'équation $x^2 + x = 1111111122222222$.

Le discriminant de l'équation est $\Delta = 1 + 4444444488888888 = 4444444488888889$. Résoudre l'équation par la méthode standard impliquerait de déterminer la racine carrée de $\Delta$, ce qui n'est guère engageant. On pourrait résoudre l'équation par la méthode standard, en utilisant une méthode d'extraction de racine carrée à la main, mais nous allons contourner ce calcul.

En revanche, vu la forme singulière du second membre, on peut facilement récrire
\begin{align*}
x^2 + x = 1111111122222222  &\iff x(x+1) = 111111111111111111 + 11111111\\
&\iff x(x+1) = \frac{10^{16} - 1}9 + \frac{10^8 - 1}9,
\end{align*}
car le $n$-ième repunit, c'est-à-dire le nombre dont l'écriture est consituée de $n$ « 1 », vaut $R_n = \frac{10^n - 1}9$ comme on peut le voir, soit à l'aide de la formule pour la somme d'une suite géométrique :
\[ R_n = 1 + 10 + \cdots + 10^{n-1} = \frac{10^n - 1}{10-1},\]
soit en remarquant que le nombre constitué de $n$ « 9 » est manifestement $10^n - 1$ (mais ces deux arguments ne sont pas si différents...)?

L'équation devient alors
\begin{align*}
 x(x+1) = \frac{10^{16} - 1}9 + \frac{10^8 - 1}9 &\iff x(x+1) = \frac{(10^{8}-1)(10^8+1)}9  + \frac{10^8 -1}9\\
&\iff x(x+1) = \frac{(10^8 - 1)(10^8 + 2)}9\\
&\iff x(x+1) = \frac{10^8-1}3 \times \frac{10^8+2}3,
\end{align*}
et l'on voit que $x = \frac{10^8-1}3 = \frac{99999999}3 = 33333333$ est une solution « évidente ».

Il suffit ensuite de se souvenir que les deux racines d'un trinôme $x^2 +bx + c$ ont pour somme $-b$ (et produit $c$) pour en déduire que l'autre racine est $-33333334$.