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Question du jeudi #46 : Roger est un joueur de tennis de très haut niveau, Éric un joueur du dimanche. On vous propose de jouer trois parties contre les deux, alternativement, et de vous donner un prix si vous gagnez deux parties consécutives. Avez-vous intérêt à jouer Roger, Éric puis Roger, ou Éric, Roger puis Éric ?

Il peut être tentant d'imaginer que jouer le meilleur joueur une seule fois est un bon calcul, mais on va voir que ce raisonnement est faux.

Notons $p_{\textrm{R}}$ la probabilité de gagner un match contre Roger et $p_{\textrm{É}}$ celle de gagner contre Éric. On suppose que les résultats des trois parties sont indépendants. Naturellement, l'hypothèse sur les forces respectives de vos deux adversaires se traduit par l'inégalité $p_{\textrm{R}} < p_{\textrm{É}}$.

Pour gagner deux parties consécutives, il y a trois possibilités, mutuellement disjointes :

• gagner les trois parties ;
• gagner les deux premières parties et perdre la troisième ;
• perdre la première partie et gagner les deux dernières.

Dans l'hypothèse où vous jouez Éric deux fois, cela donne donc votre probabilité de gagner le prix :
\[\begin{align*}
P(\text{gagner le prix}&\text{en jouant ÉRÉ})\\ &= p_{\textrm{É}} \cdot p_{\textrm{R}} \cdot p_{\textrm{É}} + p_{\textrm{É}} \cdot p_{\textrm{R}} \cdot (1-p_{\textrm{É}}) + (1-p_{\textrm{É}}) \cdot p_{\textrm{R}} \cdot p_{\textrm{É}}\\
&= p_{\textrm{É}}^2 \, p_{\textrm{R}} + 2 p_{\textrm{É}} \, p_{\textrm{R}} \, (1-p_{\textrm{É}})\\
&= p_{\textrm{É}} \, p_{\textrm{R}} \left(p_{\textrm{É}} + 2 (1-p_{\textrm{É}})\right)\\
& = p_{\textrm{É}} \, p_{\textrm{R}} \left(2 - p_{\textrm{É}}\right).
\end{align*} \]

De la même façon, un calcul symétrique prouve que
\[ P(\text{gagner le prix en jouant RÉR}) = p_{\textrm{É}} \, p_{\textrm{R}} \left(2 - p_{\textrm{R}}\right).\]

Comme $p_{\textrm{R}} < p_{\textrm{É}}$, on a $2 - p_{\textrm{R}} > 2 - p_{\textrm{É}}$ et
\[p_{\textrm{É}} \, p_{\textrm{R}} \left(2 - p_{\textrm{R}}\right) > p_{\textrm{É}} \, p_{\textrm{R}} \left(2 - p_{\textrm{É}}\right).\]

Ainsi, il vaut mieux jouer le joueur le plus faible au cours de la partie du milieu, même si cela implique de jouer le plus fort deux fois !

(L'image illustrant ce billet est extraite de la notice wikipédia « Roger Federer ».)