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Question du jeudi #35 : Alice et Bob jouent à un jeu un peu étrange : tout d'abord, Alice choisit trois réels non nuls. Ensuite, Bob insère ces trois nombres réels, dans l'ordre qu'il souhaite, dans l'expression $\square X^2 + \square X + \square$. Il obtient ainsi un polynôme $P$ de degré $2$. Le jeu est alors terminé, et on dit qu'Alice gagne si le polynôme $P$ a deux racines distinctes dans $\mathbb Q$, et que Bob gagne sinon.

Par exemple, si Alice choisit les réels $1$, $-1$ et $-1$, Bob peut former le polynôme $X^2 - X - 1$, ce qui lui fait gagner la partie, car les racines de ce polynôme, $\frac{1 \pm \sqrt 5}2$ sont distinctes, mais pas rationnelles.

La question est : lequel de ces deux joueurs possède une stratégie gagnante (autrement dit, lequel est sûr de gagner, si du moins il joue parfaitement) ?

Il y a plusieurs façons de voir qu'Alice a une stratégie gagnante, plus ou moins élégantes. La plus simple est probablement la suivante : Alice peut choisir trois nombres rationnels $p_1, p_2$ et $p_3$ non nuls et distincts tels que $p_1 + p_2 + p_3 = 0$.

En effet, puisque le polynôme $P = aX^2 + bX + c$ vérifie $P(1) = a+b+c$, la stratégie d'Alice garantit que, quel que soit l'ordre dans lequel Bob insère les nombres $p_1, p_2$ et $p_3$ (et donc quel que soit le polynôme $P$ qu'il construit ainsi), on aura $P(1) = p_1 + p_2 + p_3 = 0$, ce qui garantit déjà une solution rationnelle : le nombre $1$.

Par ailleurs, le produit des racines du polynôme $aX^2 + bX + c$ vaut toujours[fn]Un polynôme du second degré a un coefficient dominant $\lambda \neq 0$ et deux racines $r_1$ et $r_2$, éventuellement complexes ou confondues, et peut donc s'écrire \[\begin{align*}\lambda (X-r_1) (X-r_2) &= \lambda (X^2 - (r_1 + r_2) + r_1 r_2) \\ &= \lambda X^2 - \lambda (r_1 + r_2) X + \lambda r_1 r_2.\end{align*}\] On voit donc directement que le produit des racines de $a X^2 + bX + c$ est $c/a$ et que leur somme est $-b/a$.[/fn] $c/a$. Comme $P$ a déjà la racine $1$, ce produit est égal à la deuxième racine : les racines de $P$ sont $1$ et $c/a$. Puisqu'Alice a choisi trois nombres rationnels distincts, on voit que $c/a$ est bien un rationnel différent de $1$, ce qui montre que, quel que soit le coup de Bob, la victoire d'Alice est assurée.