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Question du jeudi #27 : Le plus grand nombre premier connu à ce jour est $2^{57\,885\,161} - 1$. Quels sont ses deux derniers chiffres ?

Il s'agit donc de calculer $p = 2^{57\,885\,161} - 1$ modulo $100$.

Puisque $100 = 2^2 \times 5^2 = 4 \times 25$, le théorème chinois invite a calculer ce nombre modulo $4$ et $25$, pour en déduire sa valeur modulo $100$.

Tout d'abord, modulo $4$, l'énorme puissance de $2$ se réduit évidemment à $0$. On a donc
\[ p \equiv -1 \ (\mathrm{mod}\ 4).\]

Ensuite, il faut examiner le comportement des puissances de $2$ modulo $25$. Pour cela, on peut par exemple remarquer que $2^{10} = 1024 \equiv 24 \equiv -1 \ (\mathrm{mod}\ 25)$. En élevant au carré, on a donc $2^{20} \equiv 1 \ (\mathrm{mod}\ 25)$. (C'est également une conséquence du théorème d'Euler sur les congruences.

Par ailleurs, il est visible que $57\,885\,161 \equiv 1 \ (\mathrm{mod}\ 20)$. On peut donc trouver $r \in \mathbb N$ (qu'il serait facile mais inutile de calculer) tel que $57\,885\,161 = 20r + 1$. On peut alors calculer la réduction de $p$ modulo $25$ :
\[ p = 2^{20 r +1} - 1 = 2 \times (2^{20})^r - 1 \equiv 2 \times 1^r - 1 \equiv 1 \ (\mathrm{mod}\ 25).\]

Ainsi, $p \equiv -1 \ (\mathrm{mod}\ 4)$ et $p\equiv 1 \ (\mathrm{mod}\ 25)$. Le théorème chinois assure que cela détermine la réduction de $p$ modulo $100$. Ici, c'est assez facile à vérifier à la main : si un nombre est congru à $1$ modulo $25$, il est congru à $1$, $26$, $51$ ou $76$ modulo $100$. De toutes ces possibilités, seule la troisième est congrue à $-1$ modulo $8$.

On en déduit donc
\[ p \equiv 51 \ (\mathrm{mod}\ 100)\]
et les deux derniers chiffres du plus grand nombre premier connu à ce jour sont $5$ et $1$.