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Question du jeudi #12 : Les points d'une grille sont numérotés suivant la trajectoire illustrée sur le dessin. Quel est le nombre à la gauche de 2015 ?

Puisque la trajectoire remplit petit à petit les carrés $n \times n$, le plus grand nombre dans le carré $n \times n$ est $n^2$. Il est alternativement en bas à droite et en haut à gauche du carré. (Notons que cela est une « preuve sans mot » de l'égalité $1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2$.)

En tâtonnant un peu ou en prenant une calculatrice, on observe que
\[ 1936 = 44^2 < 2015 < 2025 = 45^2.\]

$2025$ est le carré d'un nombre impair, donc il est sur la rangée du bas. Comme $2015$ est (largement) plus proche de $2025$ que de $1936$, il se trouvera à la verticale de $2025$.

Nous trouvons donc $43^2 = 1849$ deux cases à sa gauche et, par conséquent, $1850$ immédiatement à sa gauche. Le nombre à la gauche de $2015 = 2025 - 10$ est donc $1850 + 10 = 1860$.