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1. Le jeu de pile ou face, par Raphaël Cerf

Résumé : Raphaël Cerf présente un des processus aléatoires les plus simples : à chaque étape, on lance une pièce de monnaie équilibrée. On peut se figurer ce processus fondamental dans la théorie des probabilités comme une marche aléatoire : une particule se promène sur l'ensemble $\mathbb Z$ des entiers ; à chaque étape, elle se déplace vers la droite si la pièce tombe sur pile, et à gauche sinon. Raphaël Cerf calcule alors de façon élémentaire les caractéristiques principales de ce processus : la loi de la position à l'instant $n$, la probabilité de retourner au point de départ, l'instant du dernier retour au point de départ. Les outils essentiels de l'exposé sont des arguments combinatoires très élégants pour compter les trajectoires vérifiant certaines propriétés.

Plan de l'exposé :

1. Présentation du modèle
2. Représentation graphique
3. Interprétation du modèle
4. Loi de la marche symétrique
5. Retour à l'origine
6. L'allumeur de réverbères
7. Fin du calcul
8. Lemme fondamental
9. Dernière visite de 0 avant 2n
10. Loi de l'arcsinus
11. Passage à la limite quand $n \to \infty$.

2. Variables aléatoires discrètes, par Bénédicte Haas

Résumé : Bénédicte Haas rappelle les définitions des lois discrètes les plus importantes (loi de Bernoulli, loi binomiale, loi géométrique, loi de Poisson) avant de définir les notions basiques d'indépendance. On s'intéresse ensuite au comportement d'une suite infinie de variables aléatoires indépendantes et de même loi et notamment au temps d'apparition de certains motifs dans une telle suite de variables. La dernière partie de l'exposé est consacrée à l'inégalité de Bienaymé-Tchébychev et à deux de ses applications : la loi des grands nombres et l'approximation de Bernstein des fonctions continues.

Plan de l'exposé :

1. Variables aléatoires discrètes indépendants
2. Suites de variables aléatoires indépendantes
3. Inégalité de Bienaymé-Tchébychev et applications

3. Variables aléatoires gaussiennes, par Vincent Vargas

Résumé : Vincent Vargas propose une introduction au « monde gaussien » : les premiers habitants de ce monde (et les plus élémentaires) sont les variables gaussiennes. En plusieurs dimensions, on parle également de vecteurs gaussiens. Ces variables jouent un rôle fondamental à cause du théorème central limite, qui décrit les fluctuations d'une somme de variables aléatoires indépendantes autour de leur espérance. À l'aide d'un changement d'échelle, ce théorème donne naturellement naissance au processus continu le plus célèbre des probabilités : le mouvement brownien. Dans une dernière partie, Vargas évoque des résultats de recherche plus récents (théorème de Girsanov, concentration de la mesure, inégalités log-Sobolev...)

Plan de l'exposé :

1. Définition des variables gaussiennes
2. Le théorème central limite et le mouvement brownien
3. Quelques propriétés remarquables des variables gaussiennes

4. La percolation, par Raphaël Cerf

Résumé : La percolation est un des modèles les plus étudiés en théorie des probabilités : il s'agit d'un modèle de graphe aléatoire développé pour la modélisation des milieux poreux.  Dans cet exposé, Raphaël Cerf en donne une présentation élémentaire. La première question en percolation est la question de l'existence ou non de composantes connexes infinies. À l'aide d'arguments élémentaires, Cerf donne une réponse complète à cette question en dimension 2 : on observe un phénomène de transition de phase, où le graphe prend deux allures extrêmement différentes en fonction de la valeur d'un paramètre. L'exposé se termine par la présentation de simulations informatiques de ce processus.

Plan de l'exposé :

1. Le problème
2. Le réseau carré
3. L'espace de probabilité
4. Les amas ou clusters ouverts
5. La probabilité de percolation
6. Transition de phase

5. Processus de branchement, par Thomas Duquesne

Résumé : Thomas Duquesne aborde les processus de branchements (ou processus de (Bienaymé)-Galton-Watson), tout d'abord en présentant les phénomènes qu'ils modélisent, de la généalogie à la physique nucléaire. Ces processus décrivent l'évolution aléatoire d'une population et posent donc des questions naturelles : La population survit-elle ? Si oui, à quelle vitesse croît-elle ? Duquesne répond à ces questions en utilisant notamment la fonction génératrice associée au processus de branchement. Dans une deuxième partie de l'exposé, il évoque la question de construire un processus aléatoire modélisant l'arbre généalogique de la population considérée.