Article rédigé par Camille Frémontier-Murphy, Centre Maurice Halbwachs (ÉNS).

Dans la préface de son ouvrage Le Operazioni del compasso geometrico et militare, publié à Padoue en 1606, Galilée regrette la difficulté et la longueur du chemin qui mène à « l’acquisition des fruits précieux de cette science » mathématique, sachant que son apprentissage rebute de nombreux étudiants qui s’interrogent sur la capacité de ces détours obscurs à les mener jusqu’à leur but – et ceci d’autant plus que ces étudiants, des personnages de haut rang social, n’ont pas le temps d’y consacrer le temps nécessaire. Galilée propose pour sa part d’arriver en quelques jours avec l’aide de son compas « d’apprendre tout ce qui relève de la géométrie et de l’arithmétique pour un usage civil et militaire ».

Illustration 1 : Portrait de Galilée représenté avec ses inventions : le compas de proportion et le télescope (frontispice de ses Lettres sur les taches solaires de 1613 et du Saggiatore de 1623).

1. Les nouvelles exigences du métier d'ingénieur

La production de l’instrument a de fait suivi l’évolution de la profession d’ingénieur et sa mathématisation : les modèles du xvii^e siècle, plus rares dans les collections publiques, semblent correspondre à ce que décrit Hélène Vérin dans La Gloire des Ingénieurs (Paris, 1993), l’existence en France d’une vingtaine seulement d’ingénieurs militaires attachés au service du roi en 1610, un nombre qui est passé à une centaine en 1661, puis à presque trois cents à la fin du xvii^e siècle, et qui est resté plus ou moins stationnaire jusqu’à la fin du xviii^e siècle ; c’est ce que reflète les exemplaires plus nombreux de compas de proportion européens de cette époque qui ont subsisté jusqu’à nos jours.

La nature du métier d’ingénieur avait aussi connu un changement radical pendant cette même période. Avec l’arrivée des canons et la possibilité de la part des princes de plus en plus puissants d’en doter suffisamment leurs armées, il a fallu concevoir de nouvelles méthodes pour inventer des types inédits de fortifications, de machines, de procédés. Il n’était plus question de continuer l’application de recettes chiffrées élaborées à partir de principes de construction immuables conformément au De l’architecture de Vitruve (rédigé vers l’an 25 avant J.-C.), et dont l’influence avait perduré chez les architectes-ingénieurs médiévaux comme en témoignent, entre autres, les carnets de Villard de Honnecourt avec ses croquis relatifs à la construction de certaines formes aux proportions variables (ou ceux relatifs au théorème de Pythagore qui rappelaient Vitruve et Euclide). Qu’ils soient destinés à l’architecture ou à la mécanique, ces modèles étaient élaborés à partir d’un système modulaire, c’est-à-dire à l’aide d’un élément qui jouait le rôle d’unité ou de module à partir duquel étaient conçues les architectures et les machines : pour chaque hauteur de tour d’assaut étaient, par exemple, conservées les mêmes proportions d’étages, de chemins de ronde ou de plates-formes. Sauf que pour l’ingénieur moderne ces pratiques traditionnelles n’étaient plus d’un grand secours. En plus du domaine militaire où tous les regards étaient dorénavant tournés vers les ingénieurs qui n’avaient jusque-là occupé qu’une place marginale dans les conflits du temps des chevaliers, les techniques de navigation étaient de même bouleversées par le développement des grandes expéditions, tandis que les procédés d’arpentage devaient s’adapter à la maîtrise de territoires plus importants, dont les types d’exploitation nécessitaient des mesures de plus en plus précises.

Pour répondre à ces nouvelles exigences, les ingénieurs se sont servis des mathématiques, et particulièrement – comme cela a été le cas en Italie où les premiers modèles de compas de proportion sont apparus – de celles de l’enseignement secondaire des écoles laïques situées dans les grandes villes, et où ces ingénieurs étaient passés comme beaucoup de jeunes garçons entre dix et quinze ans issus des classes moyennes. Ces mathématiques commerciales des écoles d’abaque qui consistaient à réduire à des formes géométriques les objets étudiés afin d’en calculer la surface et le volume, ou qui permettaient de calculer avec la règle de trois, ont offert les premiers thèmes de recherche aux ingénieurs pour la réforme de leurs domaines d’actions.

Les compas de proportion de Léonard de Vinci

Il est ainsi symptomatique de trouver l’un des premiers modèles de compas de proportion des temps modernes dans le traité manuscrit quasi complet que Léonard de Vinci a rédigé sur la transformation des figures planes et solides, le Codex Forster, et particulièrement dans la dernière partie du traité, celle non rédigée où Léonard a regroupé ses approches expérimentales de la question. L’instrument n’y est plus utilisé dans le cadre de la conception modulaire des ingénieurs de l’Antiquité. Il est introduit à la suite de transformations de figures résolues à l’aide de constructions classiques de géométrie, comme celle d’une pyramide régulière dont le volume équivaut à un tiers d’un cylindre de base et de hauteur égale. Une fois tous les résultats ramenés à une série de rapports entre des longueurs, ces derniers pouvaient être calculés par l’instrument. Puisque à cette époque un problème mathématique était considéré comme résolu s’il pouvait être construit géométriquement, et qu’un instrument ne faisait pas alors partie des éléments d’élaboration traditionnellement reconnus comme acceptables, le seul fait d’utiliser le compas de proportion pour rendre possible l’application de certaines lois, revenait à lui faire jouer à un rôle non négligeable dans l’écriture de nouvelles mathématiques pour les ingénieurs. Comme ces essais n’ont apparemment pas abouti, l’usage du compas s’est ensuite limité à la modification de longueurs de figures sans objectif particulier.

L’objet, percé de plusieurs orifices sur ses branches, n’est à ce moment déjà plus le même que le modèle pompéien. Le rare exemplaire antique retrouvé à Pompéi était constitué de deux branches se croisant au niveau de leur fixation à un tiers de leur longueur, et pouvait donc servir à reporter entre ses pointes (ou les bases des triangles semblables formés par ses branches et positionnés dos à dos)¹, une longueur suivant un rapport de deux : à diviser par deux, entre les pointes des branches les plus courtes, la distance mesurée entre les pointes des branches les plus longues, ou à l’inverse à multiplier par deux entre les pointes les plus longues la grandeur prise entre les pointes les plus courtes ; d’autres modèles devaient certainement exprimer d’autres rapports, mais il semblerait que cet instrument soit resté conforme à la géométrie euclidienne où les divisions des lignes et en général des grandeurs géométriques étaient limitées à des divisions par les premiers nombres entiers, par deux en général, parfois par trois (liv. 12, prop. 10) comme pour la troisième partie du volume d’un cylindre ou à la rigueur par cinq pour la cinquième partie d’un angle (liv. 13, lemme prop. 18)². Le compas de Léonard n’a quant à lui plus seulement servi pour un seul rapport, mais pour toute une série de proportions dont le champ s’est élargi afin d’exprimer des solutions de problèmes mathématiques inédits, avec entre autres des racines généralement approchées par des fractions.

Illustration 2 : Compas provenant de Pompéi pour doubler ou réduire de moitié les longueurs (Museo Archeologico Nazionale di Napoli)

Illustration 3 : Léonard de Vinci, Le compas de proportion pour les rapports de ½, ¼, et ⅛ comme expérience pour les transformations des figures (Codex Forster)

Pour Léonard de Vinci sa rencontre avec le mathématicien Luca Pacioli, lors de son séjour milanais, avait été par ailleurs déterminante. En plus de l’instruire sur sa célèbre Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionnalita (publiée à Venise en 1494) qui offrait en langue vulgaire, c’est-à-dire aux non-initiés, un état des connaissances mathématiques du moment (en algèbre, en arithmétique et en géométrie), Pacioli qui s'est, lui-même, inspiré des manuscrits de Piero della Francesca et qui a été reçu par Leon Battista Alberti à Rome pendant plusieurs années, a su conduire Léonard dans la lecture des traités de mathématiques de ces artistes. Il a su grâce à cela convaincre Léonard de l’intérêt des mathématiques pour refonder une discipline en lui donnant les moyens, comme plus tard Ostilio Ricci avec Galilée, de participer à ce même mouvement. Ces cours particuliers restaient l’une des rares façons d’approfondir les mathématiques dont les canaux de transmission n’étaient, à ce niveau, pas encore institutionnalisés. C’est aussi dans le cadre de tels cours d’architecture militaire, dispensés en parallèle à son enseignement mathématique à l’Université de Padoue – à des membres de la haute bourgeoisie et de la petite noblesse italiens ou allemands, français, polonais dès 1692 ­–, que Galilée a mis au point son compas de proportion.

2. Vers l’émergence d’un modèle-type de compas de proportion

L’évolution du compas de proportion de Galilée à partir de celui de Guidobaldo del Monte et son avantage

Les étapes des réflexions de Galilée qui ont abouti à sa publication sur le compas de proportion, montrent son évolution à partir du modèle de l’un de ses protecteurs, Guidobaldo del Monte qui lui avait fait obtenir la chaire de mathématiques de l’Université de Padoue en 1592. Guidobaldo del Monte, auteur de traités sur les proportions, sur Euclide, et du premier ouvrage théorique sur la perspective, avait lui-même mis au point vers 1570 un compas de proportion, destiné à servir à l’élaboration des fortifications³.

Illustration 4 : Compas du type de celui de Guidobaldo del Monte, 1639 (collection Stillman Drake)

Dans la première version manuscrite du manuel de Galilée datée de 1597⁴, la forme du compas est similaire à celle de l’instrument de Guidobaldo : constitué de jambes plates, il s’utilisait en conjonction avec un compas à pointes sèches, ce qui permettait d’inscrire de nombreuses échelles aux graduations rapprochées tout en étant à la fois facile et peu coûteux à fabriquer. Galilée a également repris les échelles de Guidobaldo pour diviser les lignes et pour construire les polygones dans un cercle étant donné son rayon, auxquelles il a ajouté cinq autres paires (celles pour construire un polygone étant donné l’un de ses côtés, celles pour les quadratures de cercle, celles pour faire varier les surfaces, celles pour varier les volumes et celles pour varier les matériaux, dite des métaux).

L’adjonction par Galilée de la ligne dite stéréométrique, pour faire varier les solides, puis ensuite de celle des métaux, apparemment inédite, a été déterminante. L’instrument n’allait plus seulement servir pour les fortifications, comme le compas de Thomas Hood publié en 1598 – avec les lignes pour les polygones permettant de construire les formes des bâtiments, et celles pour les parties égales ainsi que pour les plans pour faire varier leurs dimensions et leurs surfaces. Le compas de proportion pouvait aussi servir à l’artillerie en permettant de trouver le côté ou le diamètre, pour les boulets de canons, de solides dont on faisait varier le volume ou le poids en fonction de leur matière (une notion plus seulement mathématique mais physique).

Les lignes pour calculer l’évolution de l’augmentation du volume d’un cube en fonction de celle de ses côtés avait déjà figuré sur le modèle mis au point vers 1530 par l’architecte Antonio da Sangallo le jeune pour faciliter les allers-retours entre des dessins à l’échelle et les constructions sur le terrain⁵. Sangallo était parti de recherches sur la duplication du carré telles que présentées dans le De l’architecture de Vitruve, pour aboutir à quelques modélisations de la progression de longueurs en fonction de celle des carrés, ainsi qu’aux différentes méthodes mises au point pour calculer des racines cubiques⁶. Les échelles de son instrument élaborées à partir des techniques encore empiriques de perspective que Sangallo avait détourné pour les adapter à la résolution de son problème à partir de quelques résultats dont il connaissait les valeurs, offraient la possibilité de multiplier toutes les racines pré-calculées (de 1 à 27) par des longueurs, c’est-à-dire d’agrandir des volumes de toutes les dimensions possibles⁷. Elles se révélaient nettement plus efficaces que les solutions des Anciens citées par Vitruve, qui exigeaient une nouvelle construction pour chaque agrandissement de cube⁸.

Illustration 5 : Dessin d’Antonio da Sangallo le Jeune d’un compas de proportion

Dans la version finale de son manuel rédigée en 1599 et publiée en 1606, Galilée a essentiellement modifié les échelles de Guidobaldo : celle pour construire les polygones dans un cercle, moins utile que celle pour construire les polygones à partir d’un côté (lignes polygraphiques), a été remplacée par une échelle pour la quadrature d’arcs de cercle (lignes tétragoniques), tandis que celle pour les lignes a été graduée en deux cent cinquante parties égales et plus seulement en sous-divisions progressives. Les lignes pour les quadratures rappelaient les recherches de Léonard sur la transformation des figures et particulièrement sur ce qu’il appelait la quadrature de la figure ovale⁹. Les autres échelles modifiées du compas de Galilée ont été sélectionnées de manière à pouvoir effectuer à l’aide de ce seul objet une progression des problèmes linéaires aux problèmes plans puis volumiques, évoquant les manuels classiques de géométrie ; entre les branches, un quart de cercle servant à mesurer l’élévation des canons et l’inclinaison des murailles permettait, de plus, à cet instrument de jouer le rôle d’équerre à niveau décrite par Galilée en 1596 dans son traité sur la triangulation¹⁰.

Les ambitions du compas de proportion de Fabrizio Mordente réalisées dans celui de Galilée.

Galilée réussissait finalement avec son compas de proportion ce que l’ingénieur Fabrizio Mordente avait ambitionné dans la plus importante publication, de plus d’une centaine de pages, jamais rédigée jusque là sur cet instrument : Il Compasso del signor Fabritio Mordente con altri istromenti mathematici ritrovati de Gasparo suo fratello, imprimé à Anvers, en 1584 à dix-huit copies¹¹. L’intérêt de l’invention était justifié dans la préface de cet ouvrage par sa capacité à résoudre tous les problèmes d’Euclide qui formaient alors la référence en mathématiques. Les fonctions du compas s’appuyaient pour cela sur des démonstrations tirées de la traduction italienne des Éléments d’Euclide réalisée par le maître d’abaque Niccolò Tartaglia¹². Il restait à se donner les moyens de réaliser ce programme, sachant que Mordente n’y était qu’en partie arrivé en faisant intervenir non pas seulement son compas, mais toute une combinaison d’instruments à la différence de Galilée. Mordente avait également essayé quelques années plus tard, en 1585, de faire des démonstrations publiques de son invention à l’aide d’un feuillet imprimé à cet effet : mais cet objet, là encore, n’a jamais connu le succès commercial du compas de Galilée, malgré l’intérêt porté par Giordano Bruno à l’instrument qui y voyait un moyen de démontrer la limite physique et mathématique de la divisibilité et qui y consacra plusieurs publications.

Illustration 6 : Compas de Fabrizio Mordente (Il Compasso del signor Fabritio Mordente con altri istromenti mathematici ritrovati de Gasparo suo fratello, Anvers, 1584)

Illustration 7 : Le compas de proportion de Galilée reproduit dans la réédition de 1640 des Operazioni del compasso geometrico et militare

Si Galilée n’a donc pas été le premier à se pencher sur cet instrument, sa publication a été en tout cas déterminante pour l’évolution de l’objet : pour la première fois, un modèle de compas de proportion allait connaître une véritable postérité et définir un type d’objets dont les échelles allaient être systématiquement reprises.

Il faut dire que pour faire connaître son instrument, Galilée en avait fait circuler plus d’une quarantaine dont la moitié à l’étranger, accompagnés de leur manuel (lui-même imprimé à soixante copies). Il en avait envoyé à l’archiduc Ferdinand d’Autriche, au landgrave de Hesse, au duc de Mantoue, qui ont certes contribué à la diffusion de l’invention, à la multiplication des commentaires, des traductions et même des exemplaires fabriqués, dès 1610 en Allemagne, en Flandres, en France et en Angleterre. Pour les seules années 1610, Stillman Drake a identifié les ouvrages suivants : Johann Faulhaber, Newe geometrische und perspectivische Inventiones, Francfort, 1610 (texte publié après avoir eu connaissance de l’exemplaire de l’archiduc d’Autriche) ; Mathias Bernegger, De proportionum instrumento, Strasbourg, 1613 (traduction latine commentée, autorisée par Galilée) ; Georg Brentel, Hern Georgii Galgemairs … porportional [sic] Schregmäss und Circkels, Ulm, 1615 (incluant une paraphrase en allemand du manuel de Galilée, mais sans citer ce dernier)¹³.

Quant à Michel Coignet (1549-1623) qui réalisa des modèles similaires à Anvers, il se défendit toujours d’avoir plagié Galilée, arguant d’ailleurs que le compas de proportion existait déjà depuis au moins un demi-siècle¹⁴. Ce maître de mathématiques de la ville d’Anvers, également à la tête d’un atelier de fabrication d’instruments, et qui avait aidé son ami Mordente à produire l’une de ses versions, était probablement de bonne foi, mais il ne réalisait sûrement pas que le compas de Galilée était d’une nature radicalement différente des autres et qu’il avait pu en voir un exemplaire sans en connaître l’inventeur. Lorsque entre 1610 et 1613, il rédigea des instructions pour un nouveau modèle, sur les douze échelles de proportions, sept étaient, cette fois, identiques à celles de Galilée auxquelles il n’ajouta que deux autres directement déduites des précédentes, plus trois échelles trigonométriques¹⁵.

Le devenir du compas galiléen

En Angleterre, la quasi-totalité des échelles galiléennes proportionnelles ont figuré dans le traité sur le compas de proportion rédigé par Edmund Gunter, professeur d’astronomie pour la navigation. Il les a complétées par une paire de lignes pour trouver le diamètre de corps de même volume mais de formes différentes, auxquelles il a ajouté le long des bords de son instrument des échelles trigonométriques non proportionnelles (de tangente, de sécante et de rhumbs, les intervalles angulaires entre chacune des trente-deux aires de vent). Avec ce compas il était dorénavant possible d’employer des formules trigonométriques en navigation qui étaient déjà connues depuis le xvi^e siècle mais qui n’avaient jamais été publiées parce que trop difficiles à calculer. Il donnait notamment les moyens de déduire sa longitude en divisant le sinus du rhumb par la distance parcourue (sachant que soixante miles correspondaient à un degré de latitude). Tout pilote était alors en mesure de naviguer aussi précisément que jusqu’au milieu du xx^e siècle, en supposant qu’il fût capable d’effectuer ces mesures précisément¹⁶. Les modèles de compas de proportion avec des échelles trigonométriques et des logarithmes de formules trigonométriques calculées pour la première fois par Gunter¹⁷, se sont donc imposés en Angleterre grâce à l’enseignement de ce même auteur à Gresham College où les cours d’astronomie en anglais destinés à la navigation ont constitué l’un des centres de renouvellement de la profession.

Illustration 8 : Compas de proportion français et anglais (Edmund Stone, The Construction and Principal Uses of Mathematical Instruments, London, 1758)

En France, les manuels qui se sont multipliés avec l’organisation d’un enseignement mathématique militaire dispensé aux soldats (qui s’est progressivement institutionnalisé notamment dans les différents régiments français avec la mise en place de préparations dans les collèges jésuites et oratoriens), se sont régulièrement structurés autour du compas de proportion du dernier quart du xvii^e siècle au troisième quart du xviii^e siècle. C’est ainsi que l’on trouvait dans le tout premier et très populaire traité français rédigé à cette fin, Le Nouveau cours de mathématiques à l’usage de l’artillerie et du génie de Bernard Forest de Bélidor (édité en 1725, et réédité en 1757), le commentaire suivant :

« De tous les instrumens de Mathématique, il n’y en a point dont l’usage soit si universel que celui qu’on nomme compas de proportion ; car il facilite la pratique de toute la théorie de la Géométrie » (p. 461).

Si les chapitres de mathématiques placés en tête de cet ouvrage étaient surtout limités aux définitions des formes géométriques les plus utiles au génie, ainsi qu’à la présentation des nombres irrationnels (les fractions et les racines), et des rapports proportionnels, l’usage de l’instrument, avec ses échelles des solides et des métaux, permettait en revanche de résoudre des problèmes plus complexes d’artillerie (en donnant le diamètre d’un boulet suivant la variation de son volume ou de son matériau à poids constant), et de calculer les formes géométriques choisies pour la construction de fortifications grâce aux échelles pour les polygones. Il pouvait, de plus, avec les mêmes principes cette fois appliqués aux parties égales ou à la duplication de surfaces, être étendu au toisé pour la construction même des fortifications, ou aux techniques d’arpentage lorsque les plans des terrains n’étaient pas établis, ou encore servir aux conversions nécessaires pour transcrire des projets sur des plans ; les échelles des cordes se révélaient quant à elle utiles pour l’arpentage et la navigation.

L’objet est tel qu’il apparaît dans le Traité de la construction et des principaux usages des instruments de mathématique de Nicolas Bion (Paris, 1709 pour la première édition puis de nombreuses fois réédité et traduit en langues étrangères), puis dans les éditions posthumes d’Ozanam de son Usage du compas de proportion (1736 et suivantes). Il perdurera en France  jusqu’à la fin du xviii^e siècle : avec en plus des échelles des lignes, des surfaces, des solides, des métaux et des polygones, les échelles des cordes (apparue pour la première fois dans le traité de Denis Henrion, L’Usage du compas de proportion, Paris, 1681), si caractéristiques des modèles français.

Il sera finalement supplanté dès la fin du xviii^e siècle par la règle à calcul dont l’usage avait été pour la première fois présenté au xvii^e siècle, mais dont la fabrication n’a commencé à être maîtrisée que progressivement dans le courant du siècle suivant jusqu’à connaître un véritable essor chez les ingénieurs toutes catégories confondues, avec le modèle coulissant muni d’un curseur mis au point vers 1850 par Amédée Mannheim, officier d’artillerie française, et qui subsistera jusqu’à l’apparition des calculettes électroniques.

3. Le problème de terminologie

La question de l’origine du compas de proportion pose néanmoins un problème de terminologie et de définition de cet objet ainsi que du compas de réduction, auquel on ne peut éviter d’être confronté lorsque l’on se penche sur le sujet. Certains auteurs qui ont traité de l’histoire du compas de proportion ont voulu le distinguer (comme Ad Meskens et Stillman Drake)¹⁸ dès son origine du compas proportionnel – « proportional compass » – en désignant par cet objet un compas en forme de X. Ces mêmes auteurs ont aussi voulu différencier le compas de proportion du compas de réduction – « reduction compass » – qui correspondrait selon ces derniers à un compas en forme de V (comme celui de proportion), mais sans échelles gravées sur ses branches ; Filippo Camerota y voyait de son côté un compas en forme de X avec deux branches qui se croisent en un pivot fixe ou coulissant situé sur leur longueur¹⁹. L’attribution du nom de compas de réduction pour désigner ce genre d’instrument en X sera en effet la norme en France, mais beaucoup plus tard.

En attendant, il n’est pas certain que le terme de compas de réduction ait été employé dès la Renaissance où il n’y avait pas, en fait, de consensus sur le nom à donner à un instrument qui existait depuis l’Antiquité (comme le montre l’exemplaire retrouvé à Pompéi), et qui allait faire l’objet d’un intérêt inédit à partir de 1500 jusqu’à évoluer radicalement. Léonard de Vinci employait en effet dès 1500 pour désigner ses objets en forme de X les termes de secteur de proportion ou proportionnel (« sesto di [ou de] proporzionalità » ; « seste proporzionali »)²⁰. De même Antonio da Sangallo le jeune appelait indifféremment son compas de proportion en forme de V (avec une double échelle pour calculer l’évolution de l’augmentation du volume d’un cube en fonction de celle de ses côtés) mis au point vers 1530, un compas de fer ou de bois ou un secteur (« uno compasso di ferro o di legno » ou « le seste »)²¹. Fabrizio Mordente désignait tout simplement ses modèles comme les modèles de Fabrizio Mordente²², tandis que les inventions de Commandino et de Guidobaldo étaient appelées des compas, et celle de Galilée le « compas géométrique et militaire ».

En France, Jacques Besson, professeur de mathématiques à Paris et à Genève – où il avait aussi réalisé d’importants travaux d’hydraulique –, consacrait en 1571 une publication sur l’objet en le nommant « compas euclidien » (Description et usaige du compas euclidien, qui servait à trouver des distances par la méthode des triangles semblables comme avec le dos d’un astrolabe grâce aux divisions en parties égales sur ses jambes et sur la circonférence de sa charnière munie d’un index pour indiquer l’angle d’ouverture ; une languette rabattable, s’accrochant entre les jambes pour former équerre et graduée en deux fois quarante-cinq degrés, s’utilisait aussi avec un fil à plomb pour mesurer les hauteurs et les niveaux, à l’aide de viseurs, tandis qu’une pointe à encre servait à tracer des lignes et à dessiner des cercles). Par la suite, toutes les publications en langue française ont parlé, dès le xvii^e siècle, de compas de proportion pour ces instruments en V gravés d’échelles proportionnelles : Denis Henrion, professeur de navigation des officiers de la marine de Rochefort, dans son Usage du compas de proportion, Paris, 1681 (avec des échelles pour les parties égales, les plans, les solides et les cordes) ; Jacques Ozanam, professeur de mathématiques indépendant (Usage du compas de proportion, Paris, 1688, 1ère édition) ; Nicolas Bion, fabricant d’instruments, dans son Traité de la construction et des principaux usages des instruments de mathématique (Paris, 1709 pour la première édition puis de nombreuses fois réédité et traduit en langues étrangères). Quant à l’instrument en X, avec ou sans échelles, il est appelé compas de réduction par Nicolas Bion dans son traité du xviii^e siècle.

En Angleterre, le compas en V, gravé d’échelles proportionnelles, a toujours été appelé « Sector » dès la première publication sur l’objet en 1598 par Thomas Hood, premier professeur à donner des leçons publiques de mathématiques à Londres (The Making and use of the geometrical instrument called a sector, Londres, 1598 où l’instrument muni de viseurs et qui s’utilisait avec un quadrant comme celui de Galilée n’était par contre gravé que des échelles pour les parties égales, pour construire des surfaces et pour construire des polygones avec la ligne des cordes) ; tandis que celui en X est appelé « proportional compass » dans les publications du xviii^e siècle. Voir aussi pour les modèles plus tardifs et standardisés, George Adams, fabricant d’instruments dans son Geometrical and graphical essays, Londres, 1791 (pour la 1ère éd.), et Edmund Stone, The Construction and principal uses of mathematical instruments (traduction anglaise du traité de Bion, Londres, 1723 et 1758).

Dans les régions germaniques, c’est le terme de Proportionalzirkel qui apparaît pour l’instrument en V et en X à l’époque moderne. C’est le cas dans la publication en 1604, de Levinus Hulsius, un élève padouan de Galilée, d’un traité sur un compas de proportion de forme similaire à celui de Léonard, mais avec des échelles pour les divisions de la ligne, pour les cordes, pour la quadrature de cercle, et pour les rapports des côtés de volumes de différentes formes, dont il attribuait l’invention à Jost Bürgi (1552-1632), certainement dans les dernières décennies du xvi^e siècle alors qu’il résidait à Kassel au service du landgrave Guillaume IV en tant qu’horloger (Dritter Tractat der Mechanischen Instrumenten Levini Hulsii. Beschreibung und Unterricht des Jobst Burgi proportional Circkels, Francfort). On retrouve le même nom dans Jacob Leupold, Theatrum arithmetico-geometricum, Leipzig, 1723 et 1727.

Quelle nécessité y aurait-il dans ce contexte à chercher à dénommer a posteriori une multitude de formes intermédiaires qui n’évolueront vers des types distincts que par la suite ?

4. Les usages du compas de proportion de Galilée

• Les lignes arithmétiques, divisées en 250 parties égales, servaient à diviser une droite, à changer l’échelle d’une carte, à effectuer des calculs avec la règle de trois, ou à calculer des changes monétaires et même des intérêts.
  
  Pour diviser une ligne, selon un exemple donné par Galilée, en 5 parties égales, il suffisait de prendre sa longueur avec un compas à pointes sèches, puis de faire en sorte que cette longueur correspondît à l’ouverture du compas de proportion au niveau de la centième graduation des branches, l’ouverture du compas au niveau des graduations 20-20 donnait alors la longueur divisée par 5.
• Les lignes géométriques étaient divisées en progression géométrique jusqu’à 50 : c’est-à-dire que si la première graduation était située à une distance $x$ du centre qui correspondait au côté d’un carré de référence, la n-ième graduation était située à une distance y du centre qui correspondait au côté d’un carré de surface n fois supérieure à celui de référence (avec $y^2 = n\, x^2$ et $y = \sqrt{n\, x^2}$).
  
  Elles s’employaient pour trouver le côté d’une figure dont on faisait varier la surface, pour trouver le rapport entre deux figures planes de même forme mais de tailles différentes, pour trouver la racine carrée d’un nombre, pour arranger une armée avec un nombre de soldats différent sur le front et le flanc, et pour trouver la moyenne proportionnelle entre deux lignes.
  
  Pour trouver la racine carrée d’un nombre, il fallait prendre sur l’une des lignes arithmétiques la longueur du centre à la graduation 40 et la reporter dans l’ouverture du compas de proportion au niveau des graduations 16-16 (4²) des deux branches ; les autres racines des autres nombres pouvaient alors se déduire de celle-ci en gardant la même ouverture de compas.
• Venaient ensuite les lignes stéréométriques dont les divisions se faisaient selon les rapports de corps solides jusqu’à 148 (ainsi si la première graduation était située à une distance $x$ du centre qui correspondait au côté d’un cube de référence, la $n$-ième graduation était située à une distance $y$ du centre qui correspondait au côté d’un cube de volume $n$ fois supérieur à celui de référence avec $y=\sqrt[3]{n\,x^3}$).
  
  Elles s’utilisaient pour trouver la longueur du côté d’une figure dont on faisait varier le volume, pour trouver le rapport entre deux solides de même forme, mais de tailles différentes, pour trouver les racines cubiques, et deux moyennes proportionnelles entre deux autres lignes.
• Les lignes des métaux portaient des divisions marquées des symboles de l’or, du plomb, de l’argent, du cuivre, du fer, de l’étain, du marbre et de la pierre, de manière à ce qu’un objet de marbre, par exemple, dont le coté correspondait à la distance entre les graduations Mar-Mar des deux branches, eût un côté égal à la longueur entre les graduations Pb-Pb, s’il avait été en plomb. On pouvait de cette manière trouver les diamètres de boulets de même poids mais de matériaux différents ou trouver les poids de boulets de matériaux différents mais de dimensions identiques.
• Les lignes polygraphiques servaient à construire des polygones dont la longueur d’un côté était connue : en plaçant cette longueur dans l’ouverture du compas entre les graduations 6-6 des deux branches, la distance entre les graduations 7-7 donnaient par exemple le rayon du cercle dans lequel s’inscrivait un heptagone ; ces lignes permettaient aussi de diviser la circonférence d’un cercle (de 3 à 15 parties).
• Les lignes tétragoniques s’utilisaient pour faire des quadratures de cercle ou de toute autre figure, c’est-à-dire pour trouver la longueur du côté de figures (de 3 à 13 côtés) de surface égale à un cercle (indiqué sur chaque branche par une graduation marquée d’un petit cercle).
• Les lignes supplémentaires pour les quadratures, s’utilisaient pour la quadrature de segments de cercles. Elles étaient marquées sur l’extérieur du signe D inversé comme dans un miroir puis des nombres 1 à 18, et sur l’intérieur d’un ▭ en pointillé puis des nombres de 1 à 18. Si l’on considérait un segment de cercle dont on reliait les deux extrémités par une droite, elle-même coupée en son milieu par une bissectrice, lorsque la moitié de cette droite correspondait à l’ouverture du compas entre les graduations D, et que la hauteur de la bissectrice correspondait à l’écartement du compas (resté inchangé) au niveau des graduations 2-2 de ces mêmes graduations extérieures, la distance entre les graduations 2-2 de l’échelle intérieure était le côté du carré de même surface que celle définie par l’arc de cercle et la droite qui rejoignait ses extrémités.

5. Opérations arithmétiques et triangles semblables

« Ces lignes [arithmétiques] s’utilisent non seulement pour la résolution de divers problèmes linéaires, mais aussi pour quelques règles d’arithmétique, parmi lesquelles se trouve celle correspondant à ce qu’Euclide nous enseigne : étant donné trois nombres, trouver le quatrième proportionnel. C’est la Règle d’Or, appelée règle-de-trois par les hommes de pratiques qui trouvent le quatrième nombre proportionnel aux trois donnés »²³.

« La règle de trois dit qu’on doit multiplier la chose qu’on veut savoir par son opposé, et diviser la produit par l’autre chose. Le nombre qui en découle est de la même nature que celui qui s’oppose au premier terme ; et le diviseur est toujours semblable à la chose qu’on veut savoir.

 

Par exemple, sept brasses de drap valent neuf lires. Combien valent cinq brasses de drap ?

 

Fais comme ceci : multiplie la quantité que tu veux savoir par la quantité que valent sept brasses de drap – à savoir neuf. Cinq fois neuf font quarante-cinq. Divise par sept et le résultat est six et trois septièmes. »

« Si quatre grandeurs A, B, Γ, Δ, prises dans cet ordre sont en proportion [continue, A : B = B : Γ = Γ : Δ], on dit que la première grandeur est à la quatrième dans le rapport triple [cube] de celui de la première à la deuxième grandeur, et ainsi de suite d’une manière analogue tant qu’il y a proportion. [A : Δ = A^³ : B^³ »

« je pourrais m’étendre sur beaucoup, beaucoup plus de règles en montrant les solutions (je pourrais dire) d’une infinité d’autres problèmes de géométrie et d’arithmétique qui peuvent être solutionnés avec d’autres lignes de notre instrument ; car tous les problèmes qui existent dans les Éléments d’Euclide et chez d’autres auteurs sont ainsi résolus par moi très rapidement et facilement. Mais comme on l’a dit au début, mon intention première était de m’adresser aux militaires, et sur quelques autres choses concernant la profession, réservant à d’autres occasions la publication de la construction de l’instrument et une plus ample description de ses usages. »

Notes.

1. Sachant que deux triangles semblables ont la caractéristique d’avoir des angles égaux et des côtés proportionnels entre eux (l’un étant ici le double de l’autre), selon un théorème connu aujourd’hui sous le nom de théorème de Thalès.

2. Comme l’explique notamment Ivor Grattan-Guinness dans, « Numbers, Magnitudes, Ratios, and Proportions in Euclid’s Elements : How Did He Handle Them ? », Historia Mathematica, 23 (1996), p. 362 : « Euclid does not divide integers to produce rational numbers (contrary, once again, to the geometric algebraists’ reading discussed in Section 2.5). Instead, a lesser number $\ell$ is “part” [μερος] or “parts” [μερη] of a greater one $g$ according – as $\ell$ “measures” $g$ or not (7.defs.3-5) – to us, whether $\ell$ is a factor of $g$ or not. For example (my own), 3 is part of 9, 3 is parts of 7, and 6 is the “same parts” (*7.prop.6) of 14; but the rational numbers $\frac 39$, $\frac 37$, and $\frac 6{14}$ are not constructed thereby. Similarly, Euclid’s rule for finding the least common multiple of numbers, ratios of them, and properties of part (7.props.36-39) cannot be so read. The only exception is the use of part numbers, mostly “a half” (*13. prop. 13), and occasionally cases such as “a third part” (12.prop.10) on the volume of a cylinder and a “fifth” (lemma to (13.prop.18), on measuring angles). They correspond to 1 as part of 2 (or 3, or 5, or …) rather than to unit fractions. ».

3. On en trouve une description dans le Fabrica et uso del compasso polimetro de Muzio Oddi publié à Milan en 1633. Il pourrait aussi s’agir de l’exemplaire illustré dans la Geometria Practica de Christoph Clavius, publiée à Rome en 1604 (Filippo Camerota, Il compasso di Fabrizio Mordente. Per la storia del compasso di proporzione, Florence, Leo S. Olschki, Biblioteca di Nuncius. Studi e testi, XXXVII, 2000, p. 31-32).

4. Le traité est retranscrit dans Antonio Favaro, Le Opere di Galileo Galilei, Florence, 1968 (rééd.), II, p. 345-358.

5. Christoph L. Frommel et Nicholas Adams, dir., The Architectural Drawings of Antonio da Sangallo the Younger and his Circle. Volume I, Fortifications, Machines, and Festival Architecture, New York, The Architectural History Foundation, 1994, U 1491A recto, p. 449.

6. De même que la duplication du carré revient au calcul de racine carré (puisque pour doubler un carré il suffit de multiplier ses côtés par la racine carrée de 2), si un cube de côté $b$ a un volume deux fois plus important qu’un cube de côté $a$, c’est-à-dire que $b^3$ est égal à $2\, a^3$, alors $b$ est aussi égal à $\sqrt[3] 2\, a$, et ainsi de suite pour les autres coefficients de multiplication.

7. Sangallo trace une ligne horizontale d’où il élève une ligne verticale qu’il divise en trois parties égales à l’aide de quatre points, nommés en partant du haut et jusqu’à la ligne horizontale, A, B, C, D. Sur cette ligne horizontale, il reporte ensuite vers la droite, quatre parties de même longueur à l’extrémité desquelles il place un point E. Puis il relie E à B, formant ainsi l’hypoténuse d’un triangle rectangle en D. Il divise EB en vingt-six parties égales (à partir de vingt-sept points) et relie le point 8 au point C de la ligne verticale (la hauteur du triangle) ; cette droite coupe alors la ligne horizontale en F. À partir de ce point, la droite allant au point 1 de l’hypoténuse coupe la hauteur en ce même point 1 (la racine cubique de 1 étant égale à 1), tandis que la droite allant au point 27 coupe la hauteur au point 3, et ainsi de suite.
En ce qui concerne le mode de fonctionnement de cette construction, en projetant perpendiculairement un point de l’hypoténuse sur la hauteur, on montre en utilisant le théorème de Thalès que sur ce schéma la racine $Y$ a comme relation avec le nombre $X$, $Y = 1 + 19 \frac{X-1}{91 + 6\, (X-1)}$ ; l’erreur maximale est alors de l’ordre de 5% pour la racine du nombre 2.

8. Déjà Hippocrate de Chios (au v^e siècle avant J.-C.) avait réussi à établir que la recherche du côté d’un cube de volume double à un autre (l’un des problèmes mathématiques classiques de son époque), revenait aussi à celle de deux moyennes proportionnelles à deux droites, dont l’une est le double de l’autre. En effet, le côté $x$ d’un cube de volume double à un cube de côté $a$, peut être défini en introduisant $y$ par la relation suivante, $\frac ax = \frac xy = \frac y{2a}$ ; en élevant $\frac ax$ au cube, on obtient bien $\left(\frac ax\right)^3 = \frac ax \, \frac xy\, \frac y{2a} = \frac 12$ et donc $x^3 = 2a^3$. La solution élaborée au iv^e siècle av. J.-C. par Archytas de Tarente déterminait à l’aide de triangles semblables deux moyennes proportionnelles entre le diamètre d’un cercle et une corde de longueur égale à sa moitié ; celle proposée par Ératosthène au iii^e siècle av. J.-C. consistait en un instrument composé de trois rectangles, l’un fixe et deux autres coulissants

9. « De quadratura della figura ovale. […] Possi fare con la regola di questo moto una figura ovale, di che proporzione si vole a un dato circolo, ma bisogna fare colle seste proporzionali, la quali son doppie, come vedi in margine. » (Léonard de Vinci, Il Codice Atlantico della Biblioteca Ambrosiana di Milano. Trascrizione diplomatica e critica di Augusto Marinoni, Florence, Giunti Barbèra, 1973-1980, 12 tomes de fac-simile et 12 tomes de transcription, t. 12, f° 1032 recto).

10. Galileo Galilei, Le Operazioni del compasso geometrico et militare, Padoue, 1606 : traduit en anglais avec une introduction par Stillman Drake dans Operations of the Geometric and Military Compass, Washington D.C., 1978.

11.  Retranscrit dans Camerota, 2000, op. cit. note 3, p. 129-240. Probablement, parmi toutes les publications des deux frères, celle où ils semblent saisir au mieux comment justifier mathématiquement l’usage de l’instrument, même s’ils n’arrivent pas complètement à réaliser leur programme. Fabrizio était à ce moment à Vienne au service de Rodolphe ii qui avait succédé en 1575 à son père à la tête de l’empire. Gasparo, apparemment plus à l’aise que son frère avec l’écriture de traités, était quant à lui au service du frère de Rodolphe II, gouverneur des Pays-Bas à Anvers. Fabrizio avait déjà publié et continuera à publier d’autres feuillets sur d’autres modèles de compas de proportion, en 1567, 1585, 1591 et 1598 (également retranscrits dans Camerota, 2000, op. cit. note 3).

12. Euclide Megarense, Venise, 1543.

13. Drake, op. cit. note 10.

14. Suivant le Prologo en forma de un discurso sobre las propriedades del compas proportional para mostrar su primer inventor, inclus dans son traité manuscrit rédigé en espagnol en 1618, El uso del compas proportional, cité par Camerota, 2000, op. cit. note 3, p. 119, et p. 14, n. 20

15. Usus duodecim divisionem regulae pantometrae, cité dans Ad Meskens, « Michel Coignet’s contribution to the development of the sector », Annals of science, 54, mars 1997, p. 154-156

16. Les instructions de Gunter, rédigées sous une forme manuscrite en latin dès 1606 (De Sectore), furent rapidement connues puis publiées en 1623 (The Sector and Cross-staff, Londres, 1623). Voir pour la description des travaux de Gunter sur la mathématisation de la navigation, les chapitres 4 et 5 de la deuxième partie de D. W. Waters, The Art of Navigation in England in Elizabethan and Early Stuart Times, New Haven, Yale University, 1958.

17. Il publia pour la première fois ses tables des logarithmes de sinus et de tangentes dans ses Canon triangulorum (Londres, 1620).

18. Meskens, 1997, op. cit. note 15 ; Drake, op. cit. note 10.

19. Camerota, op. cit. note 3.

20. « Sesto de proporzionalità in proffilo. Sesto di proporzionalità in faccia ; e il suo polo è mobile. Questo vale nelle proporzionalità inrazionali. » ; « seste proporzionali, la quali son doppie, come vedi in margine. » (Leonardo da Vinci, Il Codice Atlantico della Biblioteca Ambrosiana di Milano. Trascrizione diplomatica e critica di Augusto Marinoni, Florence, Giunti Barbèra, 1973-1980.)

21. Frommel et Adams, op. cit. note 6.

22. Camerota, 2000, op. cit. note 3.

23. Drake, op. cit. note 14, p. 48.

24. Sa démarche consistait à considérer la définition d’Euclide (définition 5 du livre V) relative à la proportion des grandeurs, basée sur la notion d’équimultiples :

« On dit de quatre grandeurs A, B, Γ et Δ, prises dans cet ordre, que la première est à la deuxième dans le même rapport que la troisième est à la quatrième, quand n’importe quel équimultiple de la première et de la troisième grandeur est en même temps et respectivement soit supérieur, soit égal, soit inférieur à n’importe quel (autre) équimultiple de la deuxième et de la quatrième grandeur ».

Et de la rapprocher de celle relative à la proportion des nombres (définition 21 du livre VII) :

«  Quatre nombres A, B, Γ, Δ, pris dans cet ordre, sont en proportion, si le premier est le même multiple, le même sous-multiple ou la même fraction du deuxième que le troisième l’est du quatrième » (Euclide, Les Éléments, texte grec et traduction française libre par Georges J. Kayas, Paris, 1978).

25. Voir Bernard Vitrac, De quelques questions touchant au traitement de la proportionnalité dans les Éléments d’Euclide. Thèse de doctorat sous la direction de Jean Dhombres, 17 décembre 1993, Paris, EHESS.

26. Aucun ouvrage sur le compas de proportion ou sur l’emploi des triangles semblables avant Galilée n’avait osé cela.

27. « In his geometry, Euclid never multiplies a magnitude by a magnitude; for example, the line of length $b$ is never multiplied by itself to produce the square $b^2$. [...] In other words, in Euclid’s geometry the square on the side is not the square of the side, or the side squared; it is a planar region which has this size. » Grattan-Guinness, 1996, op. cit. note 2, p. 360-361.

28. Il s’agissait de faire correspondre à des nombres en progression géométrique (successivement multipliés par le même facteur), des nombres évoluant en progression arithmétique (à mesure additionnés d’une valeur choisie) et appelés logarithmes.

29. Dans le premier livre de sa Géométrie parue en français en 1637, en annexe du Discours de la méthode, et en latin en 1649.

30. Soit quatre lignes, il s’agit de trouver un point tel que les lignes le reliant aux quatre autres lignes forment des angles proportionnels.

31. Paolo Palmieri, « The Obscurity of the Equimultiples. Clavius’ and Galileo’s Foundational Studies of Euclid’s Theory of Proportions », Archive for History of Exact Sciences, 6, 2001, p. 555-597.

32. Galilée, Discours et démonstrations mathématiques concernant deux sciences nouvelles. Introduction, traduction, notes et index par Maurice Clavelin, Paris, Presses Universitaires de France, 1995 (1^re édition : Armand Colin, 1970), § 143-144.

33. « After the invention of the telescope, however, the study of lenses became an important part of optics » ; « They [the discoveries of Galileo] did, of course show that the perfection of the heavens could no longer be maintained. The satellites of Jupiter went a long way toward demolishing the crystalline spheres (if anyone still believed in them), and the phases of Venus gave the coup de grace to the Ptolemaic system. »  Albert Van Helden « The Telescope in the seventeenth century », Isis, vol. 65, n° 226, mars 1974, p. 50 et 52-53.

34. Gilbert Simondon, Du Mode d’existence des objets techniques, Paris, Aubier, 1989, p. 35 et 43.

35. Dans Thinking with Objects. The Transformation of Mechanics in the Seventeenth Century, Baltimore, 2006.

36. Camille Frémontier-Murphy, Formes plastiques de raisonnements. Études sur les instruments mathématiques de l’époque moderne, thèse de doctorat sous la direction d’Éric Brian, Paris, EHESS, 20 novembre 2010.