La démonstration contemporaine la plus répandue de la décomposition de Jordan d’un endomorphisme f, appartenant à EndK(E), de polynôme caractéristique scindé, découle d’une décomposition d’un espace vectoriel E de dimension finie sur un corps K en sous espaces caractéristique sous l’action de l’opérateur f.
Soit F(x) un polynôme tel que F(f)=0 ; on suppose que F(X)=F1(X)… Fk(X) où les Fi sont 2 à 2 premiers entre eux. On pose Ei=KerFi(f). Alors les sous espaces Ei sont stables par f, on a
E=E1 +E2 + …+Ek
et les projecteurs pi : E ↔ E tels que Impi = Ei sont dans K[f], c'est-à-dire polynomiaux en f.
Soit χf(X) le polynôme caractéristique de f et M(X) le polynôme minimal.
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où mi est inférieur ou égal à ni.
Alors |
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et |
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est le polynôme minimal |
de l’endomorphisme fi induit par f.
E = E1 +E2 + …+Ek .
Pour que f soit diagonalisable, il faut et il suffit que les valeurs propres λi soient racines simples du polynôme minimal M(X).
On suppose fm positive et fm+1=0. Soit Ei = Kerfi = {x/ fi(x)=0}. On a la suite d’inclusions strictes :
E0={0} inclus dans E1 inclus dans E2 inclus dans….inclus dans Em+1=E.
Pour tout i, on a:
f(Ei+1) inclus dans Ei
et
F ∩ Ei+1={0} implique f(F)∩Ei={0}.
Soit Fm le supplémentaire de Em dans Em+1=E : E = Em+1 = Fm + Em et par récurrence, ayant Fi tel que : Ei+1 = Fi+Ei, f(Fi ) inclus dans Ei, on a f(Fi) ∩ Ei+1 = {0}. On forme Fi-1 le supplémentaire de Ei-1 dans Ei contenantf(Fi).
E = F0 + F1 +…+Fm
et f induit une injection de Fi dans Fi-1 (i compris entre 1 et m).
Soit en , un vecteur non nul de Fm, on forme les vecteurs
en-1 = f(en), …, en-m = fm(en).
Si dimFm >1, on prend en-m-1, non colinéaire à en et on recommence.
Une fois les vecteurs de Fm épuisés, si f(Fm) est strictement contenu dans Fm-1, on continue en prenant un vecteur dans Fm-1 – f(Fm) puis ses images successives. On recommence le processus jusqu’à épuisement de tous les vecteurs de F0 et on obtient ainsi une base e de E dans laquelle la matrice a la forme suivante : M = (xij) où xij = 0 sauf pour les termes de la forme : yi = xi,i+1 qui valent 1 ou 0.
Il existe une base de E par rapport à laquelle la matrice de f soit diagonale par blocs, chaque bloc étant somme d’une matrice scalaire et d’une matrice du type précédent. Cette réduction est la forme réduite de Jordan de l’endomorphisme f.
Exemple : dim F3 =1, dimD2 = 2, dimF1 = 3, dimF0 = 3.
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