Enoncés

I - Un cercle étant donné avec son centre, abaisser une perpendiculaire à une droite donnée à l'aide d'une règle seulement.
II - Deux droites (AC) et (BD) se coupent en un point hors de la feuille. A l'aide d'une règle seulement, et sans prolonger ces droites, tracer une droite passant par un point E donné et coupant les droites (AC) et (BD) au même point d'intersection.

Réponse

Il s'agit des problèmes IV et V des "15 problèmes de géométrie de la règle" publiés en 1774 par Jean-Henri Lambert. Le problème V est un classique de l'enseignement de la géométrie, et on trouve dans les manuels un grand nombre de solutions, faisant intervenir le théorème de Thalès par exemple. Mais la solution originale, donnée par J.-H. Lambert dans le cadre de la géométrie projective, est d'une simplicité et d'une élégance incomparable: il suffit de regarder la figure comme un carrelage en perspective. En quelques coups de crayon (à la règle!), on trouve les points de fuite et la solution.

Ces problèmes et leur solution, tels qu'ils ont été conçus par J.-H. Lambert, se trouvent dans le dossier mis en ligne sur le site CultureMath en juin 2007. C'est ici.