La démonstration contemporaine la plus répandue de la décomposition de Jordan d’un endomorphisme f, appartenant à EndK(E), de polynôme caractéristique scindé, découle d’une décomposition d’un espace vectoriel E de dimension finie sur un corps K en sous espaces caractéristique sous l’action de l’opérateur f.
Théorème de décomposition des noyaux
Soit F(x) un polynôme tel que F(f)=0 ; on suppose que F(X)=F1(X)… Fk(X) où les Fi sont 2 à 2 premiers entre eux. On pose Ei=KerFi(f). Alors les sous espaces Ei sont stables par f, on a
E=E1 +E2 + …+Ek
et les projecteurs pi : E ↔ E tels que Impi = Ei sont dans K[f], c'est-à-dire polynomiaux en f.
Application aux polynômes minimal et caractéristique.
Soit χf(X) le polynôme caractéristique de f et M(X) le polynôme minimal.
où mi est inférieur ou égal à ni.
Alors 
et 
est le polynôme minimal de l’endomorphisme fi induit par f.
E = E1 +E2 + …+Ek .
Pour que f soit diagonalisable, il faut et il suffit que les valeurs propres λi soient racines simples du polynôme minimal M(X).
Endomorphismes nilpotents.
On suppose fm positive et fm+1=0. Soit Ei = Kerfi = {x/ fi(x)=0}. On a la suite d’inclusions strictes :
E0={0} inclus dans E1 inclus dans E2 inclus dans….inclus dans Em+1=E.
Pour tout i, on a:
f(Ei+1) inclus dans Ei
et
F ∩ Ei+1={0} implique f(F)∩Ei={0}.
Soit Fm le supplémentaire de Em dans Em+1=E : E = Em+1 = Fm + Em et par récurrence, ayant Fi tel que : Ei+1 = Fi+Ei, f(Fi ) inclus dans Ei, on a f(Fi) ∩ Ei+1 = {0}. On forme Fi-1 le supplémentaire de Ei-1 dans Ei contenantf(Fi).
E = F0 + F1 +…+Fm
et f induit une injection de Fi dans Fi-1 (i compris entre 1 et m).
Soit en , un vecteur non nul de Fm, on forme les vecteurs
en-1 = f(en), …, en-m = fm(en).
Si dimFm >1, on prend en-m-1, non colinéaire à en et on recommence.
Une fois les vecteurs de Fm épuisés, si f(Fm) est strictement contenu dans Fm-1, on continue en prenant un vecteur dans Fm-1 – f(Fm) puis ses images successives. On recommence le processus jusqu’à épuisement de tous les vecteurs de F0 et on obtient ainsi une base e de E dans laquelle la matrice a la forme suivante : M = (xij) où xij = 0 sauf pour les termes de la forme : yi = xi,i+1 qui valent 1 ou 0.
Forme matricielle de Jordan.
Il existe une base de E par rapport à laquelle la matrice de f soit diagonale par blocs, chaque bloc étant somme d’une matrice scalaire et d’une matrice du type précédent. Cette réduction est la forme réduite de Jordan de l’endomorphisme f.
Il existe une base de E par rapport à laquelle la matrice de f soit diagonale par blocs, chaque bloc étant somme d’une matrice scalaire et d’une matrice du type précédent. Cette réduction est la forme réduite de Jordan de l’endomorphisme f.
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Exemple : dim F3 =1, dimD2 = 2, dimF1 = 3, dimF0 = 3.
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