Utilisation en classe - Quelques uns des résultats d'Edouard Lucas présentés dans cet article pourraient donner matière à d'intéressants problèmes à proposer en terminale scientifique. On peut par exemple faire le lien avec la belle activité proposée par Jean-Pierre Kahane dans "Le nombre, cet inconnu", p. 11. Dès le collège, la disposition des points de liage sur un damier peut donner l'occasion de découvrir le calcul modulaire expérimentalement, de façon très visuelle et ludique.
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Dans ce rapide exposé, je vais évoquer quelques personnalités de la deuxième moitié du XIXème siècle français. Elles ont pour caractéristique commune d’être soucieuses du lien entre science et industrie.
Parmi celles-ci, la plus notoire est Louis Pasteur qui, dès la fin du Second Empire, constate l’avance technologique et scientifique des États allemands et s’en inquiète. Cette inquiétude est amplifiée par la défaite française face à la Prusse en 1870-1871. Le malaise est alors profond dans les milieux scientifiques, où le retard de la France est souligné. Dans ce contexte, l’historien Claude Digeon a pu parler d’une crise allemande de la pensée française. L’argument du «retard» sera abondamment utilisé pour mettre en œuvre les réformes de la Troisième République.
Un mouvement venu de la société civile aussi bien que des élites intellectuelles se propose alors de favoriser en France l’«avancement» des sciences, défi positif et positiviste opposé au retard de notre pays. D’après l’anthropologue Bréau de Quatrefages «la lutte n’a pas lieu seulement sur les champs de bataille. Le domaine de l’intelligence, le terrain de la science ont aussi leurs batailles, leurs victoires, leurs lauriers. C’est là qu’il faut d’abord aller chercher la revanche!» (congrès de l’Association française pour l’avancement des sciences, 1872). La métaphore militaire est à l’honneur.
Après les déchirements de la fin de l’Empire, il s’agit d’abord de restaurer un consensus national autour des «bannières de la science militante» en valorisant une science socialement utile, en particulier auprès des milieux industriels. «La science est de l’argent!» proclame le chimiste Jean-Baptiste Dumas (congrès de l’AFAS, 1876). Il s’agit aussi de rendre accessibles les résultats scientifiques auprès d’un public élargissant le cercle académique.
Le mathématicien Édouard Lucas (1842-1891)
C’est au sein de ce mouvement d’idées que le mathématicien Édouard Lucas trouve sa voie. Issu d’une famille modeste d’Amiens - son père est tonnelier - il est admis aux deux grandes Écoles Polytechnique et Normale Supérieure. Son choix le porte vers l’ENS dont il sort agrégé de mathématiques et astronome-adjoint à l’Observatoire de Paris.
Ces années d’études astronomiques sous la férule d’Urbain le Verrier, Lucas ne les apprécie guère et il trouve souvent refuge à Amiens. Dans sa région picarde, il se familiarise avec les problèmes du tissage, en particulier à travers les œuvres d’Édouard Gand. Ce dernier est à la recherche de procédures permettant d’élaborer en particulier des modèles de satins :
«Il serait utile [...] d’avoir des procédés rationnels, des formules faciles à retenir, qui permissent d’exécuter, sans hésitation ni perte de temps, la mise en carte du satin proposé. La plupart du temps, lorsque l’on a de semblables dispositions de satins à écrire, on procède par de longs tâtonnements » écrit Édouard Gand dans le Bulletin de la Société industrielle d’Amiens de janvier 1867 (p. 62).
A cet appel répond en 1867 la première publication de Lucas : Application de l’arithmétique à la construction de l’armure des satins réguliers [Paris, Rétaux, 1867]. Cette publication est à l’origine de l’intérêt d’Édouard Lucas pour la «géométrie des tissus» (le terme «géométrie» est au XIXème siècle synonyme de mathématiques) et pour la théorie des nombres, dont il devient un spécialiste reconnu. Ses travaux sur la géométrie des tissus sont développés entre 1876 et 1878 aux congrès de l’AFAS, ainsi que dans la revue italienne l’Ingegnere civile en 1880.
La géométrie des satins
Lucas excelle dans l’art de faire surgir des mathématiques de situations ou d’objets concrets. Sa manière d’aborder la science, son souci de la populariser, de la diffuser auprès d’un public non spécialiste, est tout à fait originale et il est un des seuls mathématiciens de son temps à accorder de l’importance aux jeux ou aux «récréations» mathématiques.
La construction des satins réguliers (voir annexe 1) est particulièrement propice à l’utilisation de l’arithmétique. La structure de l’armure d’un satin de ce type peut être représentée sur un échiquier carré dont la dimension est le module de l’armure. Les points de liage (liens) sont disposés de manière régulière, de telle sorte que deux d’entre eux ne figurent pas dans la même rangée horizontale ou verticale et que leur distance comptée verticalement soit un multiple du nombre appelé décochement.
Lucas relie cette disposition des liens à un théorème d’arithmétique dû à Carl Friedrich Gauss, mathématicien allemand du début du XIXème siècle. Si p désigne le module du satin, les liens se répartissent dans chaque colonne selon les multiples du décochement a. Lorsque ce multiple dépasse la dimension p de l’armure, on ne conserve que son reste dans la division par p. Le théorème de Gauss assure que, si les nombres p et a sont premiers entre eux, les restes ainsi obtenus sont tous différents et la disposition des liens respecte la condition imposée.
Ainsi par exemple pour p = 11, les indices de colonnes de l’échiquier sont
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x |
: |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Les multiples correspondants du décochement a = 4 sont
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4x |
: |
0 |
4 |
8 |
12 |
16 |
20 |
24 |
28 |
32 |
36 |
40 |
Les indices de ligne des liens sont alors (restes des précédents dans la division par 11)
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y |
: |
0 |
4 |
8 |
1 |
5 |
9 |
2 |
6 |
10 |
3 |
7 |
Ces derniers représentent une permutation des nombres de 0 à 10. Le calcul mettant en jeu les restes (ici dans la division par 11) porte le nom de calcul par congruence (modulo 11).
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| Figure 1 : Satin de module 11, décochement 4 |
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| Figure 2 : Satin de module 11, décochement 3 |
Pour un module donné p, il y a donc autant de satins réguliers que de nombres a premiers avec p et inférieurs à p, calcul que tout arithméticien est capable d’effectuer ! (voir annexe 2)
Ainsi dix satins réguliers sont possibles sur un module 11, en classant les deux serges (a = 1 et a = 10) parmi les cas extrêmes de satins. Les huit autres structures se regroupent par quatre selon leurs propriétés de symétries. Les satins correspondant aux décochements 4, 7, 3, 8 forment un même groupe, correspondant à une même structure de tissu. Les armures de décochements 4 et 3 sont obtenues en échangeant les fils de chaîne et de trame, tandis que celles de décochements 4 et 7 sont symétriques par rapport à la direction horizontale.
Or, dans le calcul des congruences :
4 et 7 sont opposés car 4 + 7
tandis que
4 et 3 sont inverses car 4 × 3
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| Figure 3 : Satin de module 11, décochement 7 |
Les dispositions des liens d’un satin de module 11 s’interprètent dans l’algèbre des «entiers modulo 11».
Les satins carrés
Édouard Gand vante, dans ses écrits de 1867, les satins carrés (voir annexe 3) «que l’on doit de beaucoup préférer aux autres à cause de l’élégance de leur pointé qui s’écarte de toute tendance à la diagonale. On peut non seulement inscrire un carré entre quatre points voisins pris sur leur carte respective, mais on peut encore obtenir un autre carré parfait en reliant par des lignes obliques ces quatre mêmes points.» [Gand, op. cit. 1867, p. 82].
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| Figure 4 : Satin carré de module 13, décochement 5 |
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| Figure 5 : Satin carré de module 5, décochement 2 |
Peut-on construire un satin carré sur un module donné p ? C’est encore par l’algèbre des congruences que Lucas répond à cette question. Lorsque le satin est carré, le groupe des quatre satins semblables se réduit à deux et le décochement a vérifie la congruence (voir annexe 3)
a2 + 1 =
Ainsi pour un module 5, le satin de décochement 2 est carré car
22 + 1 = 5 donc 22 + 1 = 0 (mod. 5).
De même pour un module 13, le satin de décochement 5 est carré car
52 + 1 = 26 donc 52 + 1 = 0 (mod. 13).
Pour un module 25, celui de décochement 7 l’est aussi car
72 + 1 = 50 donc 72 + 1 = 0 (mod. 25)
ainsi que, pour un module 26, celui de décochement 5 car
52 + 1 = 26 donc 52 + 1 = 0 (mod. 26).
Une «formule facile à retenir», selon le vœu d’Édouard Gand, se dégage : un module p permet un satin carré si l’équation a2 + 1 = 0 (mod. p) admet des solutions parmi les entiers inférieurs à p. Ces solutions sont les décochements des satins recherchés.
Les recherches empiriques d’Édouard Gand l’ont conduit à formuler la règle suivante : le module d’un satin carré est toujours la somme de deux carrés. Ainsi en est-il des exemples examinés : 5 = 4+1 ; 13 = 9+4 ; 25 = 16 + 9 ; 26 = 25+1.
Si le constat de Gand est de nature empirique, Lucas en donne une preuve géométrique à l’aide du théorème de Pythagore.
Dans le schéma d’armure d’un satin carré de module p, les carrés obtenus tel ABCH (figure 6) ont la même aire p. Leur côté admet donc pour longueur la racine carrée de p
Le module d’un satin carré est la somme de deux carrés, selon la remarque de Gand.
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| Figure 6 |
Satins carrés de module premier
Édouard Lucas reprend [1867, op. cit., p. 80] à ce propos quelques règles empiriques de Gand : pour un module premier p (p >2), on ne peut avoir de satin carré si p est de la forme 4n+3 ; on a deux satins carrés si p est de la forme 4n+1.
Ainsi aucun satin carré n’est possible sur un module 11, alors que deux satins carrés peuvent être obtenus sur un module 13 (ils ont pour décochements 5 et 8).
Lucas fournit une démonstration très concrète de ces résultats. Cette dernière met en jeu la classification des satins en groupes de quatre, des serges en groupe de deux, et d’éventuels satins carrés en groupe de deux.
Le croisement des conditions précédentes conduit à un résultat surprenant, dont l’interprétation en terme d’arithmétique supérieure remonte au mathématicien toulousain Pierre de Fermat (1601-1665), contemporain de Blaise Pascal.
D’une part lorsque le module est un nombre premier de la forme 4n+1, il permet deux satins carrés ; d’autre part le module d’un satin carré est la somme de deux carrés. Le théorème de Fermat en résulte :
Tout nombre premier de la forme 4n+1 est la somme de deux carrés.
Ce résultat est énoncé pour la première fois en 1640 par Fermat dans une lettre à Marin Mersenne, et démontré par de nombreux mathématiciens (comme Gauss). Il faut souligner qu’Edouard Lucas en offre une preuve particulièrement originale dans sa géométrie des tissus.
Construction des satins carrés de module composé
Les satins carrés de module composé peuvent être construits dès que sont répertoriés ceux de module premier (voir annexe 4).
Ainsi le module p = 65 = 5 × 13 permet quatre satins carrés dont les modules A sont de la forme 26a + 40b, où a est une des solutions de a2 + 1 = 0 (mod. 5) et b une des solutions de b2 + 1 = 0 (mod. 13).
Les solutions a = 2 et b = 5 conduisent à A1 = 252, donc A1
Le module composé 65 permet quatre satins carrés de décochements 57, 8, 18, 47.
[La «formule simple» de Lucas peut s’expliquer par le calcul des inverses de 13 modulo 5, et de 5 modulo 13 ; en effet 26 = 2×13 = 1 (mod. 5) et 40 = 8×5 = 1 (mod. 13)].
Les satins symétriques
Ce sont les satins dont l’armure est invariante par échange des fils de chaîne et de trame (voir annexe 3). Ils font l’objet d’une étude analogue dans les travaux de Lucas et leur décochement est solution de
a2 - 1 = 0 (mod. p)
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| Figure 7 : Satin symétrique module 8, décochement 3 |
Lucas parvient ainsi à la classification de tous les satins dont le module est compris entre 5 et 95. Cette classification apparaît dans la brochure de 1867 déjà citée et est complétée dans l’Ingegnere civile de 1880.
En guise de conclusion
J’ai pu constater qu’un véritable intérêt se développe autour de la géométrie des tissus de Lucas. Ses interventions répétées sur ce thème aux congrès de l’AFAS (Association Française pour l’Avancement des Sciences) en sont la preuve. Dans le monde académique, on peut noter la réaction du chimiste Henri Sainte-Claire Deville. Ce dernier mentionne en 1871, dans une lettre au Ministre de l’Instruction publique, le calcul des tissus d’Édouard Lucas, qu’il juge «chose curieuse et utile». En 1904 après la mort de Lucas, le directeur de l’École des hautes études industrielles de Lille, E. Arnoult, se réfère encore aux travaux de Lucas et émet le souhait de lire son texte italien épuisé. Ce texte sera à nouveau publié en 1911, dans une traduction française.
Ces premières recherches ont une conséquence théorique d’importance. L’intérêt que Lucas manifeste pour les nombres, en particulier pour les nombres premiers, va en faire un spécialiste reconnu en ce domaine. Ses travaux connaissent de nos jours un regain d’intérêt et contribuent au développement d’une science très particulière et dont l’importance grandit : il s’agit de la cryptographie. Ainsi le défi des scientifiques des années 1870–1880, leur souci des applications industrielles en particulier dans le domaine du tissage, se sont-ils traduits par l’avancée d’une science très ancienne, la théorie des nombres, dans un domaine totalement inattendu : la cryptographie.
Liens
- Le texte d'Édouard Lucas, Application de l'arithmétique à la construction de l'armure des satins réguliers