SOMMAIRE
1. Le problème des restes chinois : Questions sur ses origines
2. Les problèmes de congruences résolus au lycée
3. Un florilège de problèmes anciens
4. Le mémoire d'Euler de 1740: une première synthèse
5. Carl Friedrich Gauss et l'univers nouveau des congruences
Encarts
Encart 1: Le problème de Sunzi et l'algorithme de Ratisbonne
Encart 2: Un problème de deux restes simultanés étudié en classe
Encart 3: La formulation d'un algorithme par Al-Haytham
Les problèmes de congruences simultanées sont connus dans l'histoire des mathématiques comme « problèmes des restes » ou « des restes chinois ». C'est un sujet qui a donné lieu, depuis des siècles, à de riches développements mathématiques et dont l'origine reste hypothétique puisqu'il est très difficile de démêler les motivations premières qui en ont suscité l’intérêt. C’est ce qui est développé dans le chapitre 1.
L'objet de cette brochure n'est pas de faire une histoire exhaustive ou quasi exhaustive de ces problèmes. Notre perspective d'étude est avant tout motivée par l'enseignement de l'arithmétique au lycée et c'est avec cet objectif que nous avons effectué une sélection – drastique – dans les documents auxquels nous avons eu accès.
Dans un premier temps (chapitre 2), nous présentons la résolution mathématique du problème des congruences simultanées avec des outils connus des élèves de lycée, d’abord dans la situation la plus simple où les modules sont premiers entre eux deux à deux, puis dans un cadre général. Nous avons privilégié le cas de deux équations.
Dans le chapitre 3, nous proposons aux enseignants un petit ensemble de textes qu’il n’est pas toujours facile de se procurer et qui, pour beaucoup, ont un intérêt narratif : le problème mathématique y est alors présenté sous des habillages où l’imagination et la poésie ne sont pas en reste. L’un des mérites de ces énoncés est donc d’aborder une question technique sous un angle moins aride et de montrer aussi comment la notion d’énoncé est appréhendée dans l’histoire. S'ils proposent des explications de niveaux divers, ces textes, en majorité, ne fournissent pas de véritable démonstration : soit que la difficulté intrinsèque rende la démonstration inaccessible, soit que la tradition à laquelle appartient l’ouvrage privilégie le savoir-faire en laissant de côté la justification.
Avec le quatrième chapitre, le registre change : Leonhard Euler nous donne une première synthèse mathématique moderne du problème. Enfin, dans le chapitre 5, nous abordons l’univers nouveau des congruences, né avec les travaux de Carl Friedrich Gauss.
Des activités pédagogiques sont proposées en annexe, en liaison avec certains chapitres.
Une bibliographie des ouvrages cités au cours des différents chapitres figure en fin de brochure. Les références complètes relatives aux textes historiques étudiés sont mentionnées lors de la présentation de ces textes.
Les ouvrages cités dans cette bibliographie sont ceux que nous avons mentionnés dans la brochure, à l’exception des sources originales utilisées dont les références accompagnent chaque citation. Pour une bibliographie plus détaillée sur le problème des restes, nous recommandons les ouvrages de mathématiques et d’histoire des mathématiques suivants :
Leonhard Dickson, History of the theory of numbers, t. 2 Diophantine Analysis, Washington, 1920 ; réimp. New York, Chelsea, 1971.
Johannes Tropfke, Geschichte der Elementar Mathematik, I – Arithmetik und Algebra, 4e éd. revue par Kurt Vogel, Karin Reich et Helmuth Gericke, Berlin/New-York, De Gruyter, 1980. Pour ce qui concerne le problème des restes, consulter les paragraphes suivants : 4.2.5 ; 4.2.5.1, Die regula Ta-Yen (la règle Ta-Yen) ; 4.2.5.2, Die Eierfrau (la marchande d’oeufs) ; 4.5.3, Die drei Schwestern (les trois soeurs).
Marcia Ascher, Mathematics Elsewhere. An Exploration of Ideas Across Cultures, Princeton University Press, 2002.
Marc Chemillier, Les mathématiques naturelles, Paris, Odile Jacob, 2007.
Karine Chemla et Guo Shuchun (éd.), Les Neuf Chapitres. Le Classique mathématique de la Chine ancienne et ses commentaires, édition critique bilingue, Paris, Dunod, 2004.
Michael Closs, Native American Mathematics, University of Texas Press, 1990.
Joseph W. Dauben, « Chinese Mathematics », in The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India and Islam. A Sourcebook, ed. Victor J. Katz, Princeton University Press, 2007.
Godfrey H. Hardy, Edward M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford University Press, 1979. Traduction française : Introduction à la théorie des nombres, traduction de François Sauvageot, introduction de Catherine Goldstein, Paris/Heidelberg, Vuibert/Springer, 2007.
Agathe Keller, « Un commentaire indien du VIIe siècle. Bhaskara et le ganita-pada de l’Aryabhatiya », thèse, Université Paris 7, 2000. Édition anglaise : Expounding the mathematical seed, a translation of Bhâskara I, on the mathematical chapter of the Âryabhatîya, « Science Networks », Basel, Birkhaüser, 2006. 2 vol.
David F. Lancy, Cross-Cultural Studies in Cognition and Mathematics, New-York, Academic Press, 1983.
Glendon A. Lean, Counting Systems of Papua New-Guinea and Oceania, thèse, 1992, en ligne sur le site : http://www.uog.ac.pg/glec/thesis/thesis.htm.
Ulrich Libbrecht, Chinese Mathematics in the Thirteenth Century, Mineola/New-York, Dover Publ., 2005 (1e éd., Dover, 1973).
Jean-Claude Martzloff, Histoire des mathématiques chinoises, Paris, Masson, 1988.
Joseph Needham, Science and Civilisation in China, vol 3, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth, Cambridge University Press, 1959.
Kim Plofker, « Mathematics in India », in The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India and Islam. A Sourcebook, Princeton University Press, 2007.
Roshdi Rashed, Entre arithmétique et algèbre, Paris, Les Belles lettres, 1984.
Claudia Zaslavsky, L'Afrique compte ! Nombres, formes et démarches dans la culture africaine, Argenteuil, éd. du Choix, 1995.