Par Yves Meyer. Article publié dans la Gazette de la SMF, n°109, Juillet 2006. Ce texte a été rédigé par Yves Meyer à la suite de sa conférence «Pourquoi Lebesgue essayait de mesurer les surfaces, et n’y arrivait pas?» donnée le 11 janvier 2006 à la Bibliothèque Nationale de France.

Mesurer les surfaces paraît un problème simple à première vue. Pour un rectangle, c'est bien le cas. Mais mesurer l'aire de la surface tourmentée de l'Aiguille du midi ou celle d'une île escarpée ? Au tout début du XXème siècle Henri Lebesgue posait ce problème, mais sans parvenir à le résoudre, et ce n'est qu'en 1926, dans une Note aux comptes rendus de l'Académie des sciences que Leonida Tonnelli y apporta une réponse satisfaisante. Ce problème est à l'origine d'une histoire qui mène au coeur des mathématiques : des objets fractals aux images numériques.