Vous pensez que l'hyperbole équilatère E d'équation y = 1/x est une courbe
banale, n'offrant pas (ou peu) de surprise, alors soyez étonné :
Pour commencer, quelques "rappels" de géométrie du triangle :
Triangle Cévien d'un point par rapport à un triangle :
Soit ABC un triangle et M distinct des sommets. Les droites (AM), (BM) et (CM) sont appelées céviennes (à cause du théorème de Céva).
Elles coupent - en général - les côtés opposés du triangles en trois points PQR.
Le triangle PQR est appelé triangle cévien de M par rapport au triangle ABC, et son cercle circonscrit est appelé cercle cévien de M par rapport au triangle ABC.
Triangle pédal d'un point par rapport à un triangle :
Soit ABC un triangle et P un point du plan. Soient A', B' et C' les projetés orthogonaux de P respectivement sur (BC), (AC) et (AB).
Le triangle A'B'C' est appelé triangle pédal de P par rapport au triangle ABC, et son cercle circonscrit est appelé cercle pédal de M par rapport au triangle ABC.
Quand on s'intéresse à des triangles inscrits dans une hyperbole équilatère E, on a alors quelques propriétés amusantes, illustrées par des figures interactives réalisées en CabriJava.
Trois points A,B,C sont sur E, l'orthocentre H du
triangle ABC est également dessus !
La figure correspondante :
Quatre points A,B,C et M sont sur E, on construit le
triangle et le cercle Céviens de M par rapport à ABC. Ce dernier passe alors par l'origine de l'hyperbole
La figure correspondante :
Quatre points A,B,C et M sont sur E, on construit le
triangle et le cercle pédal de M par rapport à ABC. Ce dernier passe alors par l'origine de l'hyperbole
La figure correspondante :
En particulier le cercle d'Euler de ABC (qui passe par les pieds des
hauteurs, donc qui est le cercle pédal de l'orthocentre) passe par
l'origine de l'hyperbole
La figure correspondante :
A vous de découvrir d'autres propriétés (regardez les cercles inscrits
et exinscrits des triangles Céviens)
