Le Rubik's cube,
Groupe de poche
Pierre Colmez
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Encart 2: preuve de la Proposition 4
On note F l’ensemble des faces visibles des bords (comme
chaque bord a deux faces visibles, on a |F| = 2|Y| = 24). Le groupe GY
permute les éléments de F,
d’où un morphisme de groupe σF
: GY → PermF.
Proposition 4. — Si g ∈ GY,
alors (−1)rtY(g) est
la signature
de la permutation σF(g).
Démonstration. — Il s’agit de
vérifier que les deux morphismes de groupes
g →
sign(σF(g)) et
g → (−1)rtY(g)
coïncident et, pour ce faire, il suffit de le
vérifier pour g ∈ PermY
et pour g ∈
RotY retournant un seul bord : en effet, ces
retournements
engendrent RotY, et GY
est engendré par RotY et PermY.
- Si
g ∈ RotY retourne
un seul bord, alors rtY(g) = 1, et
donc (−1)rtY(g) =
−1. Par ailleurs, σF(g) est la
transposition échangeant les deux faces du bord que
l’on retourne et donc sign(σF(g)) est aussi
égal à −1.
- Si
g ∈ PermY,
alors rtY(g) = 0, et
donc (−1)rtY(g) =
1. Maintenant, si on note fy la face
privilégiée
de y ∈
Y et fy' l’autre, alors σF(g) permute les fy et les fy' de la même manière. Il en résulte que chaque longueur de cycle apparaît un
nombre pair de fois dans la décomposition en cycles de σF(g), et donc que sign(σF(g)) est aussi égal
à 1.
Ceci permet de conclure.