Lemme 3.
— rtX
: GX → Z/3Z est un morphisme
de groupes.
Démonstration. — Si g
= ρσ et g' =
ρ'σ', avec ρ = (nx)x∈X
et ρ' = (n'x)x∈X,
alors gg'
= ρ''σ'', où ρ'' =
ρσ ρ'σ-1 et
σ''= σσ'.
Or σρ'σ-1= (mx)x∈X
avec mx = n'σ(x), et
donc si ρ'' = (n''x)x∈X,
on a n''x = nx
+ n'σ(x).
Il s'ensuit que rtX(gg') = ∑x∈X
(nx +n'σ(x)), et
comme ∑x∈X n'σ(x)
= ∑x∈X n'x ,
puisque x → σ(x) est une
bijection de X, on obtient finalement rtX(gg') = ∑x∈X nx + ∑x∈X n'x = rtX(g) + rtX(g').
Ce qui permet de conclure.