Imparité rythmique

Preuve du corollaire 1

Il suffit de montrer qu'un mot rythmique $m$ de longueur impaire égale à $2l+1$ admet un appariement à distance $l$ si et seulement si $m^{\left(l\right)}$ admet un appariement à distance 1. Posons $q=-2$ et notons que $ql=-2l=1mod2l+1$.

Supposons que le mot $m$ admet un appariement $\left\{\right\{i,i+l\}:i\in I\}$ à distance $l$. L'égalité $x_i=x_{i+l}=3$ implique, en utilisant (2), $y_{iq}=y_{(i+l)q}=y_{iq+1}$ pour chaque indice $i\in I$. Donc $\left\{\right\{iq,iq+1\}:i\in I\}=\left\{\right\{j,j+1\}:j\in Iq\}$ est un appariement à distance 1 de $m^{\left(p\right)}$. La condition nécessaire est ainsi prouvée. Réciproquement si l'on suppose que le mot $m^{\left(l\right)}$ admet un appariement $\left\{\right\{j,j+1\}:j\in J\}$ à distance 1 on montre de la même façon, en utilisant (1), que $\left\{\right\{jl,jl+l\}:j\in J\}=\left\{\right\{i,i+l\}:i\in Jl\}$ est un appariement à distance $l$ de $m$.

Preuve de la propriété 1

Soit $m$ le mot rythmique considéré, $2l+1$ sa longueur et $A$ l'appariement de $m$ à distance 1. On trouve au moins une occurrence de 2 dans $m$. Soit $x_i$ une occurrence de 2 suivie par une occurrence de 3. Puisque $x_{i+1}=3$ l'appariement $A$ doit contenir l'une des paires $\{i,i+1\}$ ou $\{i+1,i+2\}$. La première paire est interdite puisque $x_i=2$. Donc $\{i+1,i+2\}\in A$. Si $x_{i+3}=3$ on voit de même que $\{i+3,i+4\}\in A$ et par induction que $\{i+2k+1,i+2k+2\}$ pourvu que $x_{i+1}=x_{i+3}=\dots =x_{i+2k+1}=3$, les opérations arithmétiques sur les indices étant effectuées $mod2l+1$. Ceci étant vrai pour toutes les occurrences $x_i$ de 2 suivies par une occurrence de 3, l'appariement $A$ est complètement déterminé.

Preuve du corollaire 2

Il s'agit essentiellement d'une suite de vérifications formelles. Notons $m\equiv n$ lorsque deux mots $m$ et $n$ sont conjugués. Le corollaire sera prouvé si les propriétés suivantes sont satisfaites.

(4) Pour ${\displaystyle mʹ,nʹ\in A}$, $mʹ\equiv nʹ\stackrel{}{\iff }g(mʹ)\equiv g(nʹ)$

(5) Pour ${\displaystyle a,b\in B,a\equiv b\stackrel{}{\iff }f\left(a\right)\equiv f\left(b\right)}$

Preuve de (4). Supposons $mʹ\equiv nʹ$. Il existe $k$ tel que $nʹ={\delta }^k(mʹ)$. Les définitions de $g$ et $\delta$ impliquent $g\left(\delta \right(mʹ\left)\right)={\delta }^{-2}\left(g\right(mʹ\left)\right)$. Cette dernière égalité entraine $g(nʹ)=g\left({\delta }^k\right(mʹ\left)\right)={\delta }^{-2k}\left(g\right(mʹ\left)\right)$ et ainsi $g(nʹ)\equiv g(mʹ)$. Réciproquement si l'on suppose $g(nʹ)\equiv g(mʹ)$ on pose $m=g(mʹ)$, $n=g(nʹ)$ et l'on montre de la même façon, en considérant la bijection inverse de $g$ et en utilisant l'égalité $g^{-1}\left(\delta \right(m\left)\right)={\delta }^{p+q}\left(g^{-1}\right(m\left)\right)$, que $mʹ=g^{-1}\left(n\right)\equiv g^{-1}\left(n\right)=nʹ$.

Preuve de (5). Supposons $a\equiv b$. Il existe $k$, $0\le k\le 2p+q$, tel que $b={\delta }^k\left(a\right)$. Considérons le préfixe $\alpha$ de longueur $k$ dans $a$. Si $n$ est le nombre d'occurrences de 1 dans $\alpha$ on vérifie que $f\left(b\right)={\delta }^{k+n}\left(f\right(a\left)\right)$ et ainsi $f\left(b\right)\equiv f\left(a\right)$. Réciproquement supposons $f\left(a\right)\equiv f\left(b\right)$ et posons $mʹ=f\left(a\right)$ et $nʹ=f\left(b\right)$. Les mots $mʹ$ et $nʹ$ sont bien appariés et leurs réductions sont respectivement égales à $a$ et $b$. Considérons l'entier positif minimal $k$ tel que $nʹ={\delta }^k(mʹ)$. Soit $\alpha ʹ$ le préfixe de longueur $k$ du mot $mʹ$ et $\beta ʹ$ le suffixe complémentaire de $\alpha$. On a donc $mʹ=\alpha ʹ\beta ʹ$ et $nʹ=\beta ʹ\alpha ʹ$. Chaque sous-mot réductible de $mʹ=\alpha ʹ\beta ʹ$ est un sous-mot de $\alpha ʹ$ ou un sous-mot de $\beta ʹ$ sinon il y aurait une occurrence de 3 à la fin de $\alpha ʹ$ et une occurrence de 3 au début de $\beta ʹ$, mais alors $nʹ=\beta ʹ\alpha ʹ$ ne serait pas bien apparié. Il s'ensuit que, si $\alpha$ est la réduction de $\alpha ʹ$ et $\beta$ est la réduction de $\beta ʹ$, on a $a=\alpha \beta$ et $b=\beta \alpha$ et ainsi $a$ et $b$ sont conjugués.