Imparité rythmique

Preuve du corollaire 1

Il suffit de montrer qu'un mot rythmique $m$ de longueur impaire égale à $2l + 1$ admet un appariement à distance $l$ si et seulement si $m^{(l)}$ admet un appariement à distance 1. Posons $q = -2$ et notons que $ql = -2l = 1 mod 2l + 1$.

Supposons que le mot $m$ admet un appariement $\{\{i, i + l\} : i \in I\}$ à distance $l$. L'égalité $x_i = x_{i + l} = 3$ implique, en utilisant (2), $y_{iq} = y_{(i + l)q} = y_{iq + 1}$ pour chaque indice $i \in I$. Donc $\{\{iq, iq + 1\} : i \in I\} = \{\{j, j + 1\} : j \in Iq\}$ est un appariement à distance 1 de $m^{(p)}$. La condition nécessaire est ainsi prouvée. Réciproquement si l'on suppose que le mot $m^{(l)}$ admet un appariement $\{\{j, j + 1\} : j \in J\}$ à distance 1 on montre de la même façon, en utilisant (1), que $\{\{jl, jl + l\} : j \in J\} = \{\{i, i + l\} : i \in Jl\}$ est un appariement à distance $l$ de $m$.

Preuve de la propriété 1

Soit $m$ le mot rythmique considéré, $2l + 1$ sa longueur et $A$ l'appariement de $m$ à distance 1. On trouve au moins une occurrence de 2 dans $m$. Soit $x_i$ une occurrence de 2 suivie par une occurrence de 3. Puisque $x_{i+1} = 3$ l'appariement $A$ doit contenir l'une des paires $\{i, i+1\}$ ou $\{i + 1, i+2\}$. La première paire est interdite puisque $x_i = 2$. Donc $\{i + 1, i+2\} \in A$. Si $x_{i+3} = 3$ on voit de même que $\{i + 3, i + 4\} \in A$ et par induction que $\{i + 2k + 1, i + 2k + 2\}$ pourvu que $x_{i + 1} = x_{i + 3} = \ldots = x_{i + 2k + 1} = 3$, les opérations arithmétiques sur les indices étant effectuées $ mod 2l + 1$. Ceci étant vrai pour toutes les occurrences $x_i$ de 2 suivies par une occurrence de 3, l'appariement $A$ est complètement déterminé.

Preuve du corollaire 2

Il s'agit essentiellement d'une suite de vérifications formelles. Notons $m \equiv n$ lorsque deux mots $m$ et $n$ sont conjugués. Le corollaire sera prouvé si les propriétés suivantes sont satisfaites.

(4) Pour $\displaystyle{ m', n' \in A$, $m' \equiv n' \Longleftrightarrow g(m') \equiv g(n')$

(5) Pour $\displaystyle{a, b \in B, a \equiv b \Longleftrightarrow f(a) \equiv f(b)}$

Preuve de (4). Supposons $m' \equiv n'$. Il existe $k$ tel que $n' = \delta^{k}(m')$. Les définitions de $g$ et $\delta$ impliquent $g(\delta(m')) = \delta^{-2}(g(m'))$. Cette dernière égalité entraine $g(n') = g(\delta^{k}(m')) = \delta^{-2k}(g(m'))$ et ainsi $g(n') \equiv g(m')$. Réciproquement si l'on suppose $g(n') \equiv g(m')$ on pose $m = g(m')$, $n = g(n')$ et l'on montre de la même façon, en considérant la bijection inverse de $g$ et en utilisant l'égalité $g^{-1}(\delta(m)) = \delta^{p + q}(g^{-1}(m))$, que $m' = g^{-1}(n) \equiv g^{-1}(n) = n'$.

Preuve de (5). Supposons $a \equiv b$. Il existe $k$, $0 \leq k \leq 2p + q$, tel que $b = \delta^{k}(a)$. Considérons le préfixe $\alpha$ de longueur $k$ dans $a$. Si $n$ est le nombre d'occurrences de 1 dans $\alpha$ on vérifie que $f(b) = \delta^{k + n}(f(a))$ et ainsi $f(b) \equiv f(a)$. Réciproquement supposons $f(a) \equiv f(b)$ et posons $m' = f(a)$ et $n' = f(b)$. Les mots $m'$ et $n'$ sont bien appariés et leurs réductions sont respectivement égales à $a$ et $b$. Considérons l'entier positif minimal $k$ tel que $n' = \delta^k(m')$. Soit $\alpha'$ le préfixe de longueur $k$ du mot $m'$ et $\beta'$ le suffixe complémentaire de $\alpha$. On a donc $m' = \alpha'\beta'$ et $n'=\beta'\alpha'$. Chaque sous-mot réductible de $m' = \alpha'\beta'$ est un sous-mot de $\alpha'$ ou un sous-mot de $\beta'$ sinon il y aurait une occurrence de 3 à la fin de $\alpha'$ et une occurrence de 3 au début de $\beta'$, mais alors $n' = \beta'\alpha'$ ne serait pas bien apparié. Il s'ensuit que, si $\alpha$ est la réduction de $\alpha'$ et $\beta$ est la réduction de $\beta'$, on a $a = \alpha\beta$ et $b = \beta\alpha$ et ainsi $a$ et $b$ sont conjugués.