Une construction des satins carrés de module composé d'au moins deux facteurs premiers figure dans [Lucas 1867, p. 13]. Elle repose sur un résultat de Gauss relatif aux congruences de module composé [Gauss 1801, §36, p. 18-19] dont l'origine serait très ancienne.
Le cas général se traitant de manière analogue, nous supposons que p = p1p2, où p1 et p2 sont deux nombres premiers de la forme 4q+1 (la méthode demeure exacte si l'un d'entre eux est le nombre 2). La recherche des solutions a, b, x, y des équations :
a² + 1 = 0 (mod. p1)
b² + 1 = 0 (mod. p2)
x p2 = 1 (mod. p1)
y p1 = 1 (mod. p2)
permet le calcul du nombre A = x p2a + y p1b, qui vérifie A²+1 = 0 (mod. p1) et A²+1 = 0 (mod. p2). Les deux nombres p1 et p2 étant premiers entre eux, A est solution de l'équation X²+1 = 0 (mod. p )