1 : ce sont des sergés (ou la toile
dans le cas d’un module 2).
Le décochement a premier avec
p admet dans Zp
un opposé -a et un inverse a'=
1/a.
Les quatre satins correspondant aux décochements a, - a, a' et -a' sont dits de même «groupe» ou de même structure et une même armure les représente, à une symétrie ou une rotation près.
Dans certains satins, le groupe ci-dessus comporte des éléments de représentation qui se confondent. Le cas où a se confond avec son opposé -a n'est réalisé que si p = 2 et a = 1, c'est-à-dire dans la toile.
Un satin est appelé carré lorsque l'inverse de a est confondu avec son opposé -a, ce qui conduit dans Zp à l'équation
a²+ 1 = 0
Ainsi le satin de module p = 5 et de décochement a = 2 est carré, de même que celui de module p = 13 et de décochement a = 5.
L’armure d’un satin carré comporte exactement p carrés identiques construits sur les points de liage (lorsqu’elles sont tronquées, les représentations de ces p carrés se complètent exactement sur le dessin de l’armure). L’armure ayant une aire égale à p² , chaque carré a une aire égale à p.
Le satin est symétrique lorsque le décochement a se confond avec son inverse a' (mod. p), ce qui conduit dans Zp à l'équation
a² - 1 = 0
Lorsque p est premier, Zp
est un corps; ce qui entraîne que les seuls satins
symétriques de module premier correspondent à a
= 1 : ce sont des sergés (ou la toile
dans le cas d’un module 2).
Si l'on recherche des satins symétriques autres que sergés ou toile, il faut disposer d’une armure de module p non premier. Ainsi le satin de module p = 8 et décochement a = 3 est symétrique.
L’armure d’un satin symétrique est invariante par échange des fils de chaîne et de trame (invariance par symétrie par rapport à la diagonale principale du carré).