Divisez le numérateur de la fraction par le dénominateur, en ajoutant successivement un zéro à chaque reste de division; vous aurez au quotient des décimales qui exprimeront la valeur exacte ou approchée de la fraction.
Par exemple, pour évaluer 3/7 en décimales, divisez le numérateur 3 par le dénominateur 7, il viendra au quotient 0 d'entiers; ajouter un zéro au dividende 3, et divisez 30 par 7, vous aurez 4 au quotient, et 2 au reste; ajoutez un zéro au reste, et continuez l'opération comme il suit:
Il est à remarquer pour le cas où le dénominateur d'une fraction irréductible est un nombre impair non divisible par 5, que tous les restes de division sont irréductibles par rapport au diviseur; car le zéro que l'on ajoute successivement à chaque reste, donne un dividende 10 fois plus grand: or, le nombre 10 n'a, d'après l'hypothèse, aucun facteur commun avec le diviseur; donc après la division le reste ne peut avoir aucun facteur commun avec le diviseur. La division étant poussée suffisamment loin, donne des restes égaux à ceux qu'un a déjà trouvés; d'où il suit que les chiffres du quotient reparoissent de nouveau, et forment une période. Cette période ne peut être composée de plus de chiffres au quotient qu'il y a d'unités moins une dans le diviseur ou dénominateur; il est des cas où le diviseur, quoique très grand, donne néanmoins une période très petite.
On conçoit en effet, qu'en poussant la division, il doit arriver de deux choses l'une, ou tous les restes seront différents, et dans ce cas leur nombre ne peut surpasser le diviseur moins un, parce que ces restes sont chacun plus petits que le diviseur; ou dans le cours de la division on trouvera un reste égal à un des précédents, alors les mêmes chiffres du quotient reparoîtront: on pourra donc dans ce cas écrire, à la suite des chiffres déjà trouvés au quotient, tel nombre de décimales qu'on voudra sans avoir la peine de continuer la division. Enfin si l'on considère les restes successifs des divisions partielles comme numérateurs, ils formeront avec le diviseur autant de fractions irréductibles qu'il y aura de chiffres dans la période, et la valeur de chacune de ces fractions exprimée en dixièmes seulement, sera égale au chiffre correspondant du quotient.
Quand le dénominateur d'une fraction irréductible est un nombre pair, et que la division ne peut se faire exactement, les chiffres du quotient ne sont qu'en partie périodique, c'est-à-dire, que l'on trouve dans le commencement de la division un ou plusieurs chiffres non-périodiques; les restes de division sont tous des nombres pairs, et par conséquent susceptibles d'être réduits avec le diviseur à des termes plus simples.
C'est d'après ces propriétés que j'ai calculé une table d'une disposition nouvelle pour évaluer une fraction irréductible dont le dénominateur ne surpasse pas 50, avec autant de décimales qu'on voudra; mon intention étoit de la pousser bien plus loin, mais aussi j'aurois augmenté considérablement le nombre de pages de cet abrégé.
Voici la manière de faire usage de la table.
On cherchera le dénominateur de la fraction donnée, en tête des colonnes, et ensuite le numérateur dans la petite colonne à gauche, on trouvera dans celle de droite, et vis-à-vis du numérateur, la valeur exacte ou approchée de la fraction ordinaire. Si cette valeur est suivie du mot abrégé ex., on aura la valeur exacte de la fraction en décimales. Si la partie décimale se trouve terminée par etc., la dernière décimale doit être répétée autant de fois qu'on voudra. Si la partie décimale est accompagnée d'une fraction ordinaire, on écrira à la suite de cette partie la valeur de cette fraction. Enfin, si l'on ne trouve aucun signe après la valeur de la fraction donnée, on prendra cette valeur telle qu'elle se trouve dans la colonne, et de suite on écrira à sa droite tous les chiffres après les virgules, que l'on trouvera en descendant le long de la colonne; arrivé à la lettre p, qui signifie période, on pourra au besoin prendre d'autres chiffres en tête de la période, en observant de ne pas dépasser le trait qui en marque la limite.
