Questions Du Dimanche
de Norbert Verdier
Quelques problèmes découverts par Norbert Verdier dans des périodiques et manuels du XIXe siècle .
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Question Du Dimanche n°
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Enoncé
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Source
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| N°1 : 16 décembre 2007 |
Dans quelles conditions le quotient est-il entier ? (m est un entier naturel). |
F.A. Beynac, Les Nouvelles Annales de Mathématiques, 20 ( 1861), 9-11 |
| N°2 : 13 janvier 2008 | Soit la forme x2 + y2 + 5 ( z2 + t2) ; Liouville dit d’elle sans le démontrer : « La forme citée [est] une de celles qui se reproduisent par la multiplication ». Auriez-vous une démonstration ? Plusieurs ? | Liouville, Joseph. 1859. «Sur la forme x2 + y2 + 5(z2 + t2)», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, II, 4 (1859), 47-48 |
| N°3 : 20 janvier 2008 |
Les tirages de la Loterie royale de France, supprimée depuis le 1er janvier 1836, se faisaient par 5 numéros sur 90. L’extrait est la sortie d’un numéro désigné ; il gagnait 15 fois la mise. L’ambe est la sortie de deux numéros désigné ; il gagnait 270 fois la mise. Le terne est la sortie de 3 numéros désignés ; il gagnait 5500 fois la mise. Enfin le quaterne est la sortie de 4 numéros désignés ; il gagnait 75 000 fois la mise. a) Combien 5 numéros, tirés sur 90 présentent-ils d’extraits, d’ambes, de ternes et de quaternes ? b) Combien peut-on faire d’extraits, d’ambes, de ternes et de quaternes avec 90 numéros ? c) Quelle était la chance [la probabilité] de gagner un extrait déterminé? Un ambe ? Un terne ? Un quaterne ? d) Un joueur prend 5 numéros à cette Loterie. Il mise 1 euro sur chacune des 30 combinaisons possibles (5 extraits, 10 ambes, 10 ternes et 5 quaternes). On suppose qu’il gagne un numéro [parmi ces 5 numéros choisis, un seul est bon], est-ce qu’il gagne ou est-ce qu’il perd de l’argent ? même question en supposant qu’il gagne deux numéros ? |
Saigey, Jacques, Frédéric Problèmes d’arithmétique et exercices de calcul sur les questions ordinaires de la vie ; sur la géométrie, la mécanique, l’astronomie, la géographie, la physique, la chimie, et la métrologie ancienne et moderne, Ed. Hachette, Troisième édition, 1836, 116-117 |
| N°4 : 27 janvier 2008 | Soit une fonction de n quantités F(a,b,c,…,l). Considérons des substitutions des n lettres qui laissent invariante la fonction F. « Si nous faisons successivement dans un ordre quelconque quelques-unes de ces substitutions » elles « laisseront la fonction F invariable » Pourquoi ? Mathieu définit ensuite : « toutes les substitutions ainsi formés sont appelées les dérivées des substitutions [de départ] » Comment appelons-nous cet ensemble aujourd’hui ? Quelles sont toutes ces substitutions qui laissent invariable la fonction de quatre lettres : F(a,b,c,d) = (a-b)(c-d) | Mathieu, Emile, Léonard 1862. « Des fonctions algébriques de plusieurs quantités, de leur formation, et des permutations qui les laissent invariables », Nouvelles Annales de Mathématiques, II, 1 (1862), 227-242 |
| N°6 : 10 février 2008 |
u,v, w et m sont des entiers naturels; m est premier avec 5 ; ils vérifient l’équation : a) Au plus un seul des trois nombres u, w, w est divisible par 5. b) Il y en a un qui est divisible par 5. c) Si w est ce nombre, il s’ensuit que (u²+v²)/5 est une somme de carrés. |
Liouville, Sur la forme
x²+y² + 5 (z²+ t²), Journal de Mathématiques
Pures et Appliquées, II, 4 (1859), 47-48 |
| N°7 : 17 février 2008 |
a) Qui est le plus grand parmi : 21/2, 31/3, 41/4, … b) Même chose avec : |
La question a) est issue d'une question posée à l'oral de l'Ecole polytechnique (en 1860). Elle est publiée dans les Nouvelles Annales de Mathématiques (1860, pp. 7-8; Cf. books.google.fr). La solution est du professeur Beynac |
| N°12 : 13 avril 2008 | « On demande quatre nombres pairs, en progression arithmétique, tels qu'en multipliant la somme des trois derniers par la somme des deux du milieu, on obtienne un produit égal au cube d'un moyen arithmétique entre les deux premiers de ces quatre nombres. » | Annales de Gergonne, Tome 3, Année 1812-181", pp. 140] & [Annales de Gergonne , 1812-1813, 241-243 |
| N°13 : 11 mai 2008 |
a) intégrer b) intégrer c) généraliser la question précédente. |
Frenet, Jean, Frédéric, Recueil d’exercices sur le calcul infinitésimal, Mallet-Bachelier, 1856, 82-83 & 107-109 |
| N°14 : 18 mai 2008 |
a) intégrer b) intégrer c) intégrer |
Frenet, Jean, Frédéric, Recueil d’exercices sur le calcul infinitésimal, Mallet-Bachelier, 1856, 82-83 & 107-109 |
| N°15 : 25 mai 2008 |
a) calculer la dérivée d’ordre m (par rapport à x) de : b) Même chose avec |
Gregory, |
| N°16 : 1 juin 2008 | Une urne contient 2 boules blanches et trois boules noires. A qui tire le premier, gagne s’il amène une boule blanche, et B s’il amène une boule noire. On demande quelle est la probabilité de gagner pour les joueurs A et B, en supposant qu’on ne remette pas dans l’urne les boules qui en avaient été une fois extraites. A qui joue. | Liouville (Bibliothèque de l’Institut de France, MS 36 16 (3)) |
