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Les matrices :
formes de représentation et pratiques opératoires (1850-1930).

Frédéric Brechenmacher - Centre Alexandre Koyré

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Encart 9

Plan d’une démonstration contemporaine du théorème de Jordan.

La démonstration contemporaine la plus répandue de la décomposition de Jordan d’un endomorphisme f, appartenant à End_K(E), de polynôme caractéristique scindé, découle d’une décomposition d’un espace vectoriel E de dimension finie sur un corps K en sous espaces caractéristique sous l’action de l’opérateur f.

· Théorème de décomposition des noyaux.

Soit F(x) un polynôme tel que F(f)=0 ; on suppose que F(X)=F₁(X)… F_k(X) où les F_i sont 2 à 2 premiers entre eux. On pose E_i=KerF_i(f). Alors les sous espaces E_i sont stables par f, on a

E=E₁ +E₂ + …+E_k

et les projecteurs p_i : E ↔ E tels que Imp_i = E_i sont dans K[f], c'est-à-dire polynomiaux en f.

· Application aux polynômes minimal et caractéristique.

Soit χ_f(X) le polynôme caractéristique de f et M(X) le polynôme minimal.

où m_i est inférieur ou égal à n_i.

Alors et est le polynôme minimal de l’endomorphisme f_i induit par f.

E = E₁ +E₂ + …+E_k .

Pour que f soit diagonalisable, il faut et il suffit que les valeurs propres λ_i soient racines simples du polynôme minimal M(X).

· Endomorphismes nilpotents.

On suppose f^m positive et f^m+1=0. Soit E_i = Kerfⁱ = {x/ fⁱ(x)=0}. On a la suite d’inclusions strictes :

E₀={0} inclus dans E₁ inclus dans E₂ inclus dans….inclus dans E_m+1=E.

Pour tout i, on a:

f(E_i+1) inclus dans E_i

et

F ∩ E_i+1={0} implique f(F)∩E_i={0}.

Soit F_m le supplémentaire de E_m dans E_m+1=E : E = E_m+1 = F_m + E_m et par récurrence, ayant F_i tel que : E_i+1 = F_i+E_i, f(F_i ) inclus dans E_i, on a f(F_i) ∩ E_i+1 = {0}. On forme F_i-1 le supplémentaire de E_i-1 dans E_i contenant f(F_i).

E = F₀ + F₁ +…+F_m

et f induit une injection de F_i dans F_i-1 (i compris entre 1 et m).

Soit e_n , un vecteur non nul de F_m, on forme les vecteurs

e_n-1 = f(e_n), …, e_n-m = f^m(e_n).

Si dimF_m >1, on prend e_n-m-1, non colinéaire à e_n et on recommence.

Une fois les vecteurs de F_m épuisés, si f(F_m) est strictement contenu dans F_m-1, on continue en prenant un vecteur dans F_m-1 – f(F_m) puis ses images successives. On recommence le processus jusqu’à épuisement de tous les vecteurs de F₀ et on obtient ainsi une base e de E dans laquelle la matrice a la forme suivante : M = (x_ij) où x_ij = 0 sauf pour les termes de la forme : y_i = x_i,i+1 qui valent 1 ou 0.

· Forme matricielle de Jordan.

Il existe une base de E par rapport à laquelle la matrice de f soit diagonale par blocs, chaque bloc étant somme d’une matrice scalaire et d’une matrice du type précédent. Cette réduction est la forme réduite de Jordan de l’endomorphisme f.

Exemple : dim F3 =1, dimD2 = 2, dimF1 = 3, dimF0 = 3.