Les matrices :
formes de représentation et pratiques opératoires (1850-1930).

Frédéric Brechenmacher - Centre Alexandre Koyré

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Encart 13

La forme canonique de Jordan en 1870.

Le théorème suivant est énoncé par Jordan dans son Traité des Substitutions de 1870.

THEOREME. –Soit

A = |x, x’,… ax+bx’+…, a’x+b’x’+…, …|

une substitution linéaire quelconque à coefficients entiers entre n indices variables chacun de 0 à p-1; Soient F, F’, … les facteurs irréductibles de la congruence de degré n

l, l’, …leurs degrés respectifs ; m, m’, … leurs degrés de multiplicité ;

On pourra remplacer les n indices indépendants x, x’, … par d’autres indices jouissant des propriétés suivantes :

1° Ces indices se partagent en systèmes correspondants aux divers facteurs F, F’,… et contenant respectivement lm, l’m’,… indices ;

2° Soient K₀, K₁, …, K_t-1 les racines de la congruence irréductible F≡0 (mod.p) ; les n indices du système correspondant à F se partagent en l séries correspondantes aux racines K₀, K₁, …, K_l-1 ;

3° Les indices de la première série de ce système sont des fonctions linéaires des indices primitifs, dont les coefficients sont des entiers complexes formés avec l’imaginaire K₀ ; ils constituent une ou plusieurs suite y₀, z₀, u₀,…, y’₀, z’₀,…;… (*) telles que A remplace les indices y₀, z₀, u₀, … d’une même suite respectivement par K₀y₀, K₀(z₀+y₀), K₀(u₀+z₀), …;

4° Les indices de la r+1^ième série sont les fonctions y_r, z_r, u_r,…; y’_r, z’_r,…;… respectivement conjuguées des précédente, que l’on forme en y remplaçant K₀ par K_r ; A les remplace respectivement par

K_ry_r, K_r(z_r+y_r), K_r(u_r+z_r,…;…)

Cette forme simple

à laquelle on peut ramener la substitution A par un choix d’indice convenable, sera pour nous sa forme canonique.

[Jordan, 1870, 127].