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    Plan d’une démonstration contemporaine du théorème de Jordan
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    Publié le 02/04/2013
    Article principal: Les matrices : formes de représentation et pratiques opératoires (1850-1930).

    Frédéric Brechenmacher, Centre Alexandre Koyré

    La démonstration contemporaine la plus répandue de la décomposition de Jordan d’un endomorphisme f, appartenant à EndK(E), de polynôme caractéristique scindé, découle d’une décomposition d’un espace vectoriel E de dimension finie sur un corps K  en sous espaces caractéristique sous  l’action de l’opérateur f. 
     

    Théorème de décomposition des noyaux

     

    Soit F(x) un polynôme tel que F(f)=0 ; on suppose que F(X)=F1(X)… Fk(X) où les Fi sont 2 à 2 premiers entre eux. On pose Ei=KerFi(f). Alors les sous espaces Ei sont stables par f, on a

    E=E1 +E2 + …+Ek

    et les projecteurs pi : E ↔ E tels que Impi = Ei sont dans K[f], c'est-à-dire polynomiaux en f.
     

    Application aux polynômes minimal et caractéristique.
     

    Soit χf(X) le polynôme caractéristique de f et M(X) le polynôme minimal.

    		 

    où mi est inférieur ou égal à ni.

        Alors
    		et
    		est le polynôme minimal 

    de l’endomorphisme fi induit par f.

    E = E1 +E2 + …+Ek .

    Pour que f soit diagonalisable, il faut et il suffit que les valeurs propres λi soient racines simples du polynôme minimal M(X).

     

    Endomorphismes nilpotents

     

    On suppose fm positive et fm+1=0. Soit Ei = Kerfi = {x/ fi(x)=0}. On a la suite d’inclusions strictes :

    E0={0} inclus dans E1 inclus dans E2 inclus dans….inclus dans Em+1=E.

    Pour tout i, on a:

    f(Ei+1) inclus dans Ei 

    et 

    F ∩ Ei+1={0} implique f(F)∩Ei={0}.

    Soit Fm le supplémentaire de Em dans Em+1=E : E = Em+1 = Fm + Em et par récurrence, ayant Fi tel que : Ei+1 = Fi+Ei,  f(Fi ) inclus dans Ei, on  a f(Fi) ∩ Ei+1 = {0}. On forme Fi-1 le supplémentaire de Ei-1 dans Ei contenantf(Fi).

    E = F0 + F1 +…+Fm

    et f induit une injection de Fi dans Fi-1 (i compris entre 1 et m).

    Soit en , un vecteur non nul de Fm, on forme les vecteurs

    en-1 = f(en), …, en-m = fm(en).

    Si dimFm >1, on prend en-m-1, non colinéaire à en et on recommence.

     

    Une fois les vecteurs de Fm épuisés, si f(Fm) est strictement contenu dans  Fm-1, on continue en prenant un vecteur dans Fm-1 – f(Fm) puis ses images successives. On recommence le processus jusqu’à épuisement de tous les vecteurs de F0 et on obtient ainsi une base e de E dans laquelle la matrice a la forme suivante : M = (xij) où xij = 0  sauf pour les termes de la forme : yi = xi,i+1 qui valent 1 ou 0.

     

    Forme matricielle de Jordan

     

    Il existe une base de E par rapport à laquelle la matrice de f soit diagonale par blocs, chaque bloc étant somme d’une matrice scalaire et d’une matrice du type précédent. Cette réduction est la forme réduite de Jordan de l’endomorphisme f.

    Exemple :  dim F3 =1, dimD2 = 2, dimF1 = 3, dimF0 = 3.

     

     
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