Frédéric Brechenmacher, Centre Alexandre Koyré

 

La démonstration contemporaine la plus répandue de la décomposition de Jordan d’un endomorphisme f, appartenant à End_K(E), de polynôme caractéristique scindé, découle d’une décomposition d’un espace vectoriel E de dimension finie sur un corps K  en sous espaces caractéristique sous  l’action de l’opérateur f. 

Théorème de décomposition des noyaux

Soit F(x) un polynôme tel que F(f)=0 ; on suppose que F(X)=F₁(X)… F_k(X) où les F_i sont 2 à 2 premiers entre eux. On pose E_i=KerF_i(f). Alors les sous espaces E_i sont stables par f, on a

E=E₁ +E₂ + …+E_k

et les projecteurs p_i : E ↔ E tels que Imp_i = E_i sont dans K[f], c'est-à-dire polynomiaux en f.

Application aux polynômes minimal et caractéristique.

Soit χ_f(X) le polynôme caractéristique de f et M(X) le polynôme minimal.

où m_i est inférieur ou égal à n_i.

Alors 

 et 

  est le polynôme minimal de l’endomorphisme f_i induit par f.

E = E₁ +E₂ + …+E_k .

Pour que f soit diagonalisable, il faut et il suffit que les valeurs propres λ_i soient racines simples du polynôme minimal M(X).

Endomorphismes nilpotents.

On suppose f^m positive et f^m+1=0. Soit E_i = Kerfⁱ = {x/ fⁱ(x)=0}. On a la suite d’inclusions strictes :

E₀={0} inclus dans E₁ inclus dans E₂ inclus dans….inclus dans E_m+1=E.

Pour tout i, on a:

f(E_i+1) inclus dans E_i 

et 

F ∩ E_i+1={0} implique f(F)∩E_i={0}.

Soit F_m le supplémentaire de E_m dans E_m+1=E : E = E_m+1 = F_m + E_m et par récurrence, ayant F_i tel que : E_i+1 = F_i+E_i,  f(F_i ) inclus dans E_i, on  a f(F_i) ∩ E_i+1 = {0}. On forme F_i-1 le supplémentaire de E_i-1 dans E_i contenantf(F_i).

E = F₀ + F₁ +…+F_m

et f induit une injection de F_i dans F_i-1 (i compris entre 1 et m).

Soit e_n , un vecteur non nul de F_m, on forme les vecteurs

e_n-1 = f(e_n), …, e_n-m = f^m(e_n).

Si dimF_m >1, on prend e_n-m-1, non colinéaire à e_n et on recommence.

Une fois les vecteurs de F_m épuisés, si f(F_m) est strictement contenu dans  F_m-1, on continue en prenant un vecteur dans F_m-1 – f(F_m) puis ses images successives. On recommence le processus jusqu’à épuisement de tous les vecteurs de F₀ et on obtient ainsi une base e de E dans laquelle la matrice a la forme suivante : M = (x_ij) où x_ij = 0  sauf pour les termes de la forme : y_i = x_i,i+1 qui valent 1 ou 0.
 

Forme matricielle de Jordan.

Il existe une base de E par rapport à laquelle la matrice de f soit diagonale par blocs, chaque bloc étant somme d’une matrice scalaire et d’une matrice du type précédent. Cette réduction est la forme réduite de Jordan de l’endomorphisme f.

 

Il existe une base de E par rapport à laquelle la matrice de f soit diagonale par blocs, chaque bloc étant somme d’une matrice scalaire et d’une matrice du type précédent. Cette réduction est la forme réduite de Jordan de l’endomorphisme f.

Exemple :  dim F3 =1, dimD2 = 2, dimF1 = 3, dimF0 = 3.