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Frédéric Brechenmacher, Centre Alexandre Koyré

[On] considère les substitutions linéaires comme des opérations ('auteur dit opérateurs) appliquées aux vecteurs de l'espace ordinaire [...]. Au même ordre d'idées, bien que le concept vectoriel n'y soit pas explicitement énoncé, se rattachent d'autres travaux importants : pour n'en citer qu'un, le mémoire de M. Frobenius sur les formes bilinéaires et les nombreuses recherches que ce beau mémoire à inspirées.  [...] L'objet de ce mémoire est l'étude des opérations distributives qu'on peut appliquer aux fonctions analytiques, plus particulièrement aux séries de puissances entières et positives de la variable x [...]. Nous considérons l?ensemble de ces séries comme une variété ou espace (que nous appelons espace fonctionnel) à un nombre infini de dimensions : chaque série est un élément ou point de cet espace, et le système des coefficients de la série peut se regarder comme le système de ses coordonnées. [...] après quelques généralités sur les opérations distributives, on traite des racines de ces opérations, puis des opérations appliquées aux variétés linéaire à un nombre fini de dimensions, et au moyen du concept de racines d'une opération, on retrouve d'une façon tout à fait simple et naturelle la décomposition d'une homographie par les diviseurs élémentaires de Weierstrass.

Etant données l'opération A et la variété V(a₁, a₂,...,a_n) , invariante par rapport à A et qui ne renferme pas de racines de A, existe-t-il, dans cette variété, une fonction ω invariante par rapport à A ?

[...] Soit donc

ω = h₁a₁ + h₂a₂ +... +h_na_n

une fonction invariante par rapport à A; on aura

A(ω) = zω

[...] d'où suit pour z la condition nécessaire et suffisante d'être racine de l'équation caractéristique ou fondamentale de l?opération A par rapport à la variété donnée

[?] On démontre immédiatement que si V_n(a) contient une variété V_m(b),

m <n, qui est aussi invariante par rapport à A, et g(t) est le premier membre de l'équation fondamentale de A par rapport à V_m(b), g(t)  est diviseur de f(t).

[...] A côté de l?opération A considérons l'opération

(11)

Nous savons que sa variété racine est la somme des variétés racines de

Nous nous proposons maintenant d'étudier les racines de l?opération B, et pour cela, celles de l?opération E^r, où E=A-z, et z désigne l?une quelconque des racines de (10).

[...] si l'opération E^p = (A-z)^p admet, dans la variété V_n(a), une racine propre ω^(p-1) on aura :

E(ω^(p-1)) = ω^(p-2), E(ω^(p-2)) = ω^(p-3),...,E(ω⁽¹⁾) = ω, E(ω) = 0,

d'où l'on tire :

Les fonctions ω, ω⁽¹⁾, ..., ω^(p-1) ainsi déterminées sont linéairement  indépendantes [...]. Si donc E^p admet dans la variété V_n(a) une racine propre ω^(p-1), il existe une variété d'ordre p,

V_p(ω, pω⁽¹⁾,?,ω^(p-1))

également invariante par rapport à A, contenue dans V_n(a), et sur laquelle A opère la substitution linéaire (12). Le tableau (12) montre que le premier membre de l'équation caractéristique correspondante est

g(t) = (t-z)^p,

d'où il suit que z est racine de f(t) de l'ordre p au moins.

[?]*

*Le lecteur a sans doute déjà remarqué que la théorie des opérations distributives nous a permis d'obtenir le concept des diviseurs élémentaires de Weierstrass, et cela, d'une façon excessivement simple. [Pincherle, 1899, 341].