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Texte d'Emmanuel Grenier, ENS Lyon. Version ps ou pdf.

Vous trouverez ci-dessous des illustrations des phénomènes décrits dans ce texte.

Table des matières

• Introduction
• Schéma centré
• Schéma décentré à droite
• Schéma décentré à gauche

Introduction

Nous nous intéressons ici au système différentiel suivant :

L'équation aux dérivées partielles (1) est appelée équation de transport. En effet nous savons trouver la solution exacte de ce système, à savoir la fonction :

Pour un résolution numérique, on cherche à discrétiser tout ceci. C'est-à-dire que l'on désire calculer des valeurs approchées de la solution u en un certain nombre de points (discrétisation en la variable spatiale x), typiquement les multiples du pas h choisi. Et ce uniquement à des moments successifs donnés (discrétisation en temps : on se donne un pas temporel k).
Comme on connaît la valeur initial de la solution u, toute la difficulté consiste à trouver un moyen d'exprimer les valeurs de u aux points voulus à l'instant t_n+1 en fonction de ses valeurs en ses points à l'instant t_n.
Pour la suite, on notera u_iⁿ l'approximation de u au point i h, et à l'instant n k.
Discrétiser l'équation, c'est alors remplacer les différentes dérivées de u par des valeurs approchées : ainsi la dérivée de u par rapport à t, au point u_iⁿ, sera remplacée par le rapport (u_iⁿ⁺¹ - u_iⁿ)/k, c'est-à-dire le taux d'accroissement correspondant.

Enfin, nous allons illustrer dans le cas où la donnée initiale est de type "échelon", c'est-à-dire une fonction en escalier, nulle partout sauf sur un intervalle sur lequel elle est constante, égale à 1.

 
  Pour l'explication des différences fondamentales entre ces différentes façons de simuler numériquement l'équation de transport, pour découvrir pourquoi les deux premières sont vouées à l'échec tandis que la troisième fonctionne assez bien, nous vous renvoyons bien sûr au texte d'Emmanuel Grenier.

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