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Soient a,b et c trois nombres positifs. Prouver que:

$$\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}+\frac{ab}{a+b} \leq \frac{1}{2} (a+b+c)$$

Sans perte de généralité, on peut supposer que $0<a\leq b \leq c.$

On a alors $\frac{1}{b+c} \leq \frac{1}{c+a} \leq \frac{ab}{a+b}$ et $bc\geq ca \geq ab.$

Mais dans ce cas il vient que :

$$ \frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}+\frac{ab}{a+b} \leq \frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{c+a}+\frac{ca}{a+b},$$

et aussi : 

$$\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}+\frac{ab}{a+b}\leq \frac{ca}{b+c}+\frac{ab}{c+a}+\frac{bc}{a+b}.$$

Comme on vous prépare un article sur l'inégalité de Tchebychev et les inégalités de réarrangement, on vous laisse réfléchir :)

Pour finir on additionne les deux inégalités et on obtient :

$$2 \left( \frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}+\frac{ab}{a+b} \right) \leq a+b+c.$$