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Soient $n\in\mathbb{N}$ et $x\in \mathbb{R}$. Montrer que : $$\cos^{2n}x + \sin ^{2n}x \geq \frac{1}{2^{n-1}}$$

D'abord une solution proposée par Alexandre Jennan :

On peut supposer $n\geq 2$. En posant $u=cos^2 x$, le problème revient à étudier $f(u)=u^n + (1-u)^n$ sur l'intervalle $[0;1]$. La dérivée s'annule seulement en $u=1/2$ et on a $f(u)\geq  f(1/2)=1/2^{(n-1)}$. QED.

Si on veut on peut aussi penser à l'inégalité de Tchebychev pour les sommes :

Si $a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n$ et $b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n,$ alors
$$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \geq \left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n b_k\right).$$

Si l'on prend $0\leq x<y$ on obtient donc facilement, avec  $x^{n-1}<y^{n-1}$ :

$$x^n+y^n \geq \frac{1}{2} (x+y)(x^{n-1} + y^{n-1}).$$

De proche en proche on a donc :

$$x^n+y^n \geq \frac{1}{2^{n-1}} (x+y)^n.$$

La solution s'obtient alors en partant de $\sin ^2 x$ et $\cos ^2 y$...

Il y a encore d'autres solutions que vous pouvez proposer...