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Comparaison de l'évolution de la somme de 10 tirages consécutifs entre 0 et 100 réalisés N fois. La distribution se rapproche d'une distribution normale quand N augmente.

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On rappelle ici l'énoncé du théorème et sa preuve:

Soit $ X_1, X_2,\dots$  une suite de variables aléatoires réelles définies sur le même espace de probabilité, indépendantes et identiquement distribuées suivant la même loi $D$.

Supposons que l'espérance $\mu$ et l'écart-type $\sigma$ de $D$ existent et soient finis avec $\sigma\not = 0$.

Considérons la somme

    $$ S_n = X_1 + X_2 +\cdots + X_n.$$

Alors

•     l'espérance de $S_n$ est $n\mu$ et
•     son écart-type vaut ${\displaystyle \sigma {\sqrt {n}}} \sigma {\sqrt {n}}$.

De plus, quand $n$ est assez grand, la loi normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(n\mu ,n\sigma ^{2})}$  est une bonne approximation de la loi de $S_n$.

Afin de formuler mathématiquement cette approximation, nous allons poser

    $${\displaystyle {\overline {X}}_{n}={\frac {S_{n}}{n}}={\frac {(X_{1}+X_{2}+...+X_{n})}{n}}}$$

et

   $$ {\displaystyle \mathrm {Z} _{n}={\frac {\mathrm {S} _{n}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}={\frac {{\overline {\mathrm {X} }}_{n}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}}$$

de sorte que l'espérance et l'écart-type de $Z_n$ valent respectivement 0 et 1 : la variable est ainsi dite centrée et réduite.

Le théorème central limite énonce alors que la suite de variables aléatoires $Z_1, Z_2,\dots, Zn,\dots$ converge en loi vers une variable aléatoire $Z$, définie sur le même espace probabilisé, et de loi normale centrée réduite $ {\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)} $ lorsque $n$ tend vers l'infini.

Cela signifie que si $\phi$ est la fonction de répartition de $ {\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)} $, alors pour tout réel $z$ :

   $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathrm {P} (\mathrm {Z} _{n}\leq z)=\Phi (z),}$$

ou, de façon équivalente :

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathrm {P} \left({\frac {{\overline {\mathrm {X} }}_{n}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}\leq z\right)=\Phi (z)}$$

Démonstration du théorème central limite :

Il existe de multiples preuves, en voici une très courte.

Pour une variable aléatoire $Y$ d'espérance $0$ et de variance $1$, la fonction caractéristique de $Y$ admet le développement limité :

$$ {\displaystyle \varphi _{\mathrm {Y} }(t)=1-{t^{2} \over 2}+\mathrm {o} (t^{2}),\quad t\rightarrow 0.}$$

Si $Y_i$ vaut $ {\displaystyle {\frac {\mathrm {X} _{i}-\mu }{\sigma }}} $, il est facile de voir que la moyenne centrée réduite des observations $X_1, X_2, \dots , X_n$ est simplement :

$$ {\displaystyle \mathrm {Z} _{n}={\frac {{\overline {\mathrm {X} }}_{n}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\mathrm {Y} _{i}}{\sqrt {n}}}.}$$

D'après les propriétés élémentaires des fonctions caractéristiques, la fonction caractéristique de $Z_n$ est

$$ {\displaystyle \left[\varphi _{\mathrm {Y} }\left({\frac {t}{\sqrt {n}}}\right)\right]^{n}=\left[1-{\frac {t^{2}}{2n}}+\mathrm {o} \left({\frac {t^{2}}{n}}\right)\right]^{n}\longrightarrow \mathrm {e} ^{-t^{2}/2}} $$ lorsque ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$.

Mais cette limite est la fonction caractéristique de la loi normale centrée réduite $ {\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$, d'où l'on déduit le théorème central limite grâce au théorème de convergence de Lévy, qui affirme que la convergence simple des fonctions caractéristiques implique la convergence en loi.