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Question du jeudi #50 : Il est possible de placer trois polygones réguliers (convexes) dans le plan pour qu'ils s'agencent parfaitement autour d'un sommet commun.

Les deux figures suivantes montrent deux tels agencements : à gauche avec trois hexagones réguliers et à droite avec un carré, un pentagone régulier, et un icosagone (c'est-à-dire un polygone à vingt côtés) régulier.

Quel est le plus grand nombre de côtés qu'un polygone présent dans un tel agencement peut avoir ?

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Pour qu'un tel agencement soit possible, il faut et il suffit que la somme des angles intérieurs des trois polygones réguliers soit égale à $2 \pi$. Or, l'angle intérieur d'un polygône à $n$ côtés régulier est $\pi - \frac{2 \pi}n$. Rappelons la preuve de ce fait.

En fait, il est plus facile de déterminer l'angle extérieur $\theta$ d'un polygone régulier. En effet, si l'on parcourt le périmètre d'un tel polygone (en partant du milieu d'un côté, par exemple) dans le sens trigonométrique, on fait des trajets en ligne droite, interrompus par $n$ rotations d'angle $\theta$. Puisque l'on revient à la même position et dans la même direction après avoir fait un tour complet, il faut bien que $\theta = \frac{2 \pi}n$, ce qui donne bien un angle intérieur de mesure $\pi - \theta = \pi - \frac{2 \pi}n$.

Ainsi, si $p \leq q \leq r$ sont les nombres de côtés de nos trois polygones, la relation que l'on obtient est
\begin{align*}
\left(\pi - \frac {2 \pi}p\right) + \left(\pi - \frac {2 \pi}q\right) + \left(\pi - \frac {2 \pi}r\right) = 2 \pi &\iff \pi = 2 \pi \left( \frac 1p + \frac 1q + \frac 1r\right) \\
&\iff \frac 1p + \frac 1q + \frac 1r = \frac 12,
\end{align*}
et il s'agit de déterminer quelle est la plus grande valeur de $r$ pouvant intervenir dans une telle décomposition de $\frac 12$ en somme d'inverses de trois entiers $\geq 3$ (car le nombre de côtés d'un polygone est au moins $3$).

Déjà, comme $\frac 16 + \frac 16 + \frac 16 = \frac 12$ (ce qui correspond d'ailleurs à nos trois hexagones réguliers), on ne peut pas avoir $p > 6$ et, si $p = 6$, $q=r=6$ est la seule solution. On peut donc distinguer trois autres cas, suivant les valeurs de $p$.

• Si $p = 5$, on doit avoir $\frac 1q + \frac 1r = \frac 12 - \frac 15 = \frac 3{10}$, donc $\frac 1q \leq \frac 3{10}$, ce qui entraîne $q \geq 4$. On a donc dans ce cas
  \[ \frac 1r \geq \frac 3{10} - \frac 14 = \frac 1{20} \implies r \leq 20.\]
• Si $p= 4$, on doit avoir $\frac 1q + \frac 1r = \frac 12 - \frac 14 = \frac 14$, donc $\frac 1q < \frac 14$, ce qui entraîne $q \geq 5$. On a donc dans ce cas
  \[ \frac 1r \geq \frac 14 - \frac 15 = \frac 1{20} \implies r \leq 20,\]
  la solution limite $\frac 14 + \frac 15 + \frac 1{20}$ correspondant au deuxième exemple donné dans la question.
• Si $p= 3$, on doit avoir $\frac 1q + \frac 1r = \frac 12 - \frac 13 = \frac 16$, donc $\frac 1q < \frac 16$, ce qui entraîne $q \geq 7$. On a donc dans ce cas
  \[ \frac 1r \geq \frac 16 - \frac 17 = \frac 1{42} \implies r \leq 42,\]
  avec une solution limite $\frac 13 + \frac 17 + \frac 1{42}$ correspondant à cet agencement d'un triangle, d'un heptagone et d'un $42$-gone1 réguliers :

Ainsi, le plus grand grand nombre de côtés possible pour un polygone régulier s'agençant parfaitement avec deux autres polygones réguliers est 42.

Remarque. Le texte original de la question ne mentionnait pas l'hypothèse de convexité des polygones réguliers. C'était une erreur. La définition de polygone régulier inclut généralement les polygones réguliers étoilés, comme celui figurant sur la figure suivante.

De tels polygones peuvent être vus comme une variante du $n$-gone régulier où, au lieu de relier chaque sommet et son voisin, on relie les sommets en en « sautant »> $m-1$ à chaque fois. Il est relativement facile de se convaincre que cette construction fournit bien un polygone si $m \leq n$ et que $n$ et $m$ sont premiers entre eux. En fait, remplacer $m$ par $n-m$ ne change pas le polygone, donc on peut supposer $2m \leq n$. Le $n$-gone régulier convexe correspond au choix $m=1$, le polygone de notre figure à $n=7$ et $m =3$. Dans la suite, on notera ce polygone régulier $\{m/n\}$.

On peut en fait calculer les angles intérieurs de $\{m/n\}$ en recourant à la même méthode que pour les polygones réguliers. Si l'on note $\theta$ l'angle extérieur à chaque sommet, la seule différence avec le calcul donné plus haut pour les polygones réguliers convexes et qu'après être revenu sur ses pas, une personne marchant sur le polygone étoilé $\{m/n\}$ aura fait $m$ tours. On a donc $\theta = \frac {2 \pi m}n$, et l'angle intérieur vaut donc $\pi - \theta$. En refaisant le même calcul, on voit par exemple qu'il est possible d'agencer parfaitement un polygone étoilé de symbole $\{m/n\}$, un $p$-gone régulier convexe et un $q$-gone régulier convexe autour d'un sommet si
\[ \frac mn + \frac 1p + \frac 1q = \frac 12.\]
On voit par exemple qu'une possibilité est
\[ \frac {n-2}{2n} + \frac 1{2n} + \frac 1{2n} = \frac 12,\]
qui correspond bien à un agencement de polygones pourvu que $n-2$ et $n$ soient premiers entre eux, ce qui arrive si et seulement si $n$ est impair. Voici par exemple un agencement de trois tétradécagones ($14$-gones) réguliers, dont un est étoilé.

Ainsi, si l'on n'impose pas aux polygones d'être convexes, il y a des solutions avec des nombres arbitrairement grands de côtés, et la question perd son sens.

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Crédits image : Wikimedia Commons

• 1. En suivant Kepler et Conway, on peut appeler un tel polygone un tetracontakaidigone.