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Question du jeudi #41 : Combien de nombres à 6 chiffres sont multiples de 164 et se terminent par 164 ?

Un nombre à 6 chiffres se terminant par 164 est un nombre de la forme 1000  ×  n + 164, où n est un entier compris entre 100 et 999.

Par ailleurs, la décomposition de 164 en facteurs premiers est (de manière appropriée pour la quarante-et-unième question du jeudi)
\[ 164 = 2^2 \times 41 = 4  ×  41. \]

Déjà, notre nombre est toujours divisible par 4 : on peut remarquer que 1000  ×  n + 164 = 4  ×  (250  ×  n + 41) ou bien se souvenir du critère de divisibilité par 4 (un nombre est divisible par 4 si et seulement si le nombre formé de ses deux derniers chiffres l'est). En particulier, 1000  ×  n + 164 est divisible par 164 si et seulement si 250  ×  n + 41 est divisible par 41 (ce qui est équivalent au fait que 41 divise 250 ×  n).

Puisque 41 est un nombre premier ne divisant pas 250, le lemme d'Euclide s'applique et 41 divise 250  ×  n si et seulement s'il divise n.

Ainsi, les nombres recherchés sont exactement les nombres de la forme 1000 n + 164, où n est un multiple de 41 compris entre 100 et 999. Les n qui conviennent sont donc
\[ 3\times 41 = 123, 4 \times 41 = 164, \ldots, 23 \times 41 = 943, 24 \times 41 = 984,\]
qui sont au nombre de 22.

Il y a donc 22 nombres à six chiffres se terminant par 164 qui sont multiples de 164.