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Question du jeudi #26 : Déterminer les couples $(p, q)$ de nombres premiers tels que $p + q = (p-q)^3$.

Déjà, l'équation implique que $p$ et $q$ sont distincts. Comme il s'agit de nombres premiers, ils sont premiers entre eux.

Modulo $p+q$, on a la congruence $p-q \equiv -2q$, donc l'équation se réduit en
\[ 0 \equiv (p-q)^3 \equiv (-2q)^3 \equiv -8 q^3 \ (\mathrm{mod}\, p+q).\]

Autrement dit, le nombre $p+q$ divise $8 q^3$. Cependant, $p+q$ ne peut pas être un multiple de $q$ (si c'était le cas, $p$ serait également un multiple de $q$, mais on a dit que ces deux nombres étaient premiers entre eux). Ainsi, on obtient, par le lemme de Gauss, que $p+q$ divise $8$. Comme $p$ et $q$ valent au moins $2$, cela entraîne $p+q \in \{4, 8\}$. Mais la seule façon de décomposer $4$ en somme de deux nombres premiers est $4 = 2+2$ (et $p=q=2$ n'est pas une solution de notre équation) et la seule façon de décomposer $8$ est $8 = 5 + 3$.

En injectant ces candidats dans l'équation, on obtient donc que la seule solution possible est $p = 5$ et $q = 3$.