La réponse du jeudi (2) : puissances de 2
Publié le 18/09/2014

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Question du jeudi #2 : Les six derniers chiffres d'une puissance de 2 sont tous des 6 et des 9. Pouvez-vous les déterminer exactement ?


La clef de cette question provient des critères de divisibilité. Le plus facile de tous ces critères est celui de divisibilité par 2 : on sait tous que les nombres pairs sont ceux sont le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8. Rappelons la preuve de ce critère :

Tout nombre s'écrit $n = 10 a + b$, où $b$ est son dernier chiffre. Comme $10 n$ est nécessairement pair, $n$ est pair si et seulement si $b$ l'est.

On voit donc que le cœur de la preuve du critère de divisibilité est le fait que 10 soit pair. Cela permet de généraliser le critère pour reconnaître les multiples de 4, de 8 ou de toute puissance de 2. En effet, 10 n'est pas un multiple de 4, mais $100 = 4\times 25$ l'est. Comme tout entier s'écrit $n = 100 a + b$, où $b$ est obtenu en ne gardant que les deux derniers chiffres, on obtient que $n$ est un multiple de 4 si et seulement si $b$ l'est.

De manière générale, si $e$ est un entier, $10^e = 2^e \times 5^e$ est un multiple de $2^e$ donc $n = 10^e a + b$ est un multiple de $2^e$ si et seulement si $b$ l'est. Autrement dit, un nombre $n$ est un multiple de $2^e$ si et seulement si le nombre formé des $e$ derniers chiffres de $n$ l'est. On retrouve bien ainsi les critères de divisibilité par $2^1 = 2$ et $2^2 = 2$.

Retournons à notre problème. On ne sait pas quelle puissance de 2 a uniquement des 6 et des 9 comme derniers chiffres1 mais on sait déjà que cette puissance de 2 sera divisible par $2^6 = 64$ (en effet, les puissances de 2 non divisibles par $2^6 = 64$ sont $2^1 = 2$, $2^2 = 4$, $2^3 = 8$, $2^4 = 16$ et $2^5 = 32$, qui ne vérifient pas la propriété voulue2). Or, d'après le critère de divisibilité, le fait d'être divisible par 64 se lit sur les six derniers chiffres.

Parmi les 64 nombres à 6 chiffres s'écrivant uniquement avec des 6 et des 9, il s'agit donc de déterminer lesquels sont divisibles par 64. On peut cependant y aller petit à petit, en évitant de tester un à un les 64 possibilités :

  • Le nombre inconnu $n = \_\_\_\_\_\_$ est pair donc son dernier chiffre doit être 6 : $n = \_\_\_\_\_6$.
  • Les deux derniers chiffres $\_6$ de $n$ doivent maintenant former un multiple de 4. C'est le cas de 96 mais pas de 66 : $n = \_\_\_\_96$.
  • De même, 696 est un multiple de 8, alors que 996 ne l'est pas : $n = \_\_\_696$.
  • Et ainsi de suite : on obtient successivement3  les trois chiffres suivants et $n = 669\,696$

On a donc démontré que si les six derniers chiffres d'une puissance de deux sont des 6 ou des 9, celle-ci se termine en fait par la suite de chiffres $\mathbf{\ldots669\,696}$.

On vérifie d'ailleurs à l'aide d'un ordinateur que l'énoncé n'a pas menti et qu'une telle puissance de 2 existe. La première est

Pour aller plus loin

Les arguments utilisés pour répondre à cette question auraient aussi bien marché si nous avions cherché les dix derniers chiffres d'une puissance de 2, ou n'importe quel autre nombre de chiffres. Par ailleurs, 6 et 9 auraient pu être remplacés par n'importe quels chiffres non nuls4 pourvu que l'un des deux soit pair et l'autre impair : par exemple, si les 10 derniers chiffres d'une puissance de 2 sont tous des 2 et des 5, c'est qu'elle se termine par $\ldots 2\,255\,255\,552$.

 On peut alors montrer en utilisant plus d'arithmétique5 qu'il existe toujours dans ce cas une puissance de 2 se terminant par ces chiffres.

En revanche, si on ne se restreint plus aux derniers chiffres, la question devient très difficile. En expérimentant avec un ordinateur, on se rend compte que les puissances de $2$ supérieures à $2^{168}$ semblent toutes s'écrire en utilisant les dix chiffres6. Cette remarque est liée à une conséquence d'une conjecture beaucoup plus forte de Furstenberg, issue de son domaine de prédilection, la théorie ergodique.

Conjecture7 : Soit $p$ et $q$ deux entiers $> 1$ qui ne sont pas des puissances d'un même entier. Alors toute suite finie de chiffres apparaît dans l'écriture de $p^n$ en base $pq$, pourvu que $n$ soit assez grand.
 


1: À vrai dire, on ne sait même pas si une telle puissance de 2 existe. Mais l'énoncé semble l'indiquer, faisons-lui confiance.

2: L'énoncé est un peu ambigu : les six derniers chiffres de 6996, par exemple, sont-ils tous des 6 ou des 9, ou doit-on également compter les deux zéros à gauche des chiffres significatifs ? Heureusement, l'ambiguïté n'est pas gênante pour les puissances de 2 : celles qui ont moins de 6 chiffres ($1, 2, \ldots, 65\,536$) ont toutes un chiffre significatif différent de 6 ou 9.

3: De manière générale, une fois que l'on a trouvé les $k$ derniers chiffres (qui forment donc un nombre $n_k$ multiple de $2^k$), on obtient le chiffre qu'il faut mettre à gauche :

  • si $n_k$ est déjà multiple de $2^{k+1}$, on ajoute un 6 ($6$ est pair, donc $6\cdot 10^k$ est également multiple de $2^{k+1}$ et il en sera alors de même de $6\cdot 10^k + n_k$) ;
  • sinon, on ajoute un 9 ($9\cdot 10^k$ est, comme $n_k$, un nombre multiple de $2^k$ mais pas de $2^{k+1}$, leur somme est donc multiple de $2^{k+1}$).

On répond ainsi raisonnablement vite à la question, même à la main.

4: Voyez-vous pourquoi ?

5: Spécifiquement, en utilisant le théorème chinois et le fait que 2 est un générateur de $(\mathbb Z/5^n \mathbb Z)^\times$.

6: Plus précisément, il ne semble y avoir que 91 nombres $n$ tels que l'écriture de $2^n$ n'utilise pas tous les chiffres.

7: Harry Furstenberg, Intersections of Cantor Sets and Transversality of Semigroups, in Problems in analysis, pp. 41-59. Princeton Univ. Press, 1970.

 
 
 
 
 
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