La réponse du jeudi (16) : 2015 zéros
Publié le 22/01/2015

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Question du jeudi #16 : Les nombres de Fibonacci $(F_n)_{n\in\mathbb N}$ sont définis par $F_0 = 0$, $F_1 = 1$ et la relation de récurrence $F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$. Montrer qu'il existe $n > 0$ tel que $F_n$ se termine par 2015 zéros.


En fait, étant donné un nombre entier $a$ quelconque, on peut démontrer qu'il existe $n > 0$ tel que $F_n$ soit divisible par $a$. On aura donc le résultat souhaité en posant $a = 10^{2015}$.

On peut maintenant considérer les nombres de Fibonacci $\overline F_n$ modulo $a$. Il s'agit donc d'éléments de $ {\mathbb Z}/a {\mathbb Z}$ vérifiant la même relation de récurrence $\overline F_{n+1} = \overline F_n + \overline F_{n-1}$.

Puisqu'il y a une infinité de nombres entiers et seulement $a^2$ couples d'éléments de $ {\mathbb Z}/a {\mathbb Z}$, le couple $(\overline F_n, \overline F_{n+1})$ se répètera nécessairement :
\[ \exists m < n : (\overline F_n, \overline F_{n+1}) = (\overline F_m, \overline F_{m+1}).\]

La connaissance de $\overline F_n$ et $\overline F_{n+1}$ permet alors de déterminer les valeurs précédentes de la suite. Par exemple, $\overline F_{n-1} = \overline F_{n+1} - \overline F_n$. Ainsi, on aura également l'égalité $\overline F_{n-1} = \overline F_{m-1}$ et, par récurrence,
\[ \forall k \leq m, \overline F_{n-k} = \overline F_{m-k}.\]

En prenant $k = m$, il vient $\overline F_{n-m} = \overline F_0 = \overline 0$, ce qui signifie bien que $F_{n-m}$ est divisible par $a$.

 

 
 
 
 
 
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