La définition des matrices par Weyr.

La définition des matrices par Cayley.

Eine Matrix n^ter Ordnung {a_hk} oder A auf ein System von n Werten x₁,...,x_n oder kürzer (x)applicieren, heiβt ein Werthsystem y₁,...,y_n mittelst der n linearen Gleichungen

y_h = a_h1x₁+...+a_hnx_n, (h=1,2,...,n)

ableiten. Diese n Gleichungen mögen durch die symbolische Gleichung

(y) = A(x)

ausgedrückt werden.

The term matrix might be used in a more general sense, but in the present memoir I consider only square and rectangular matrices, […] ;  in this restricted sense, a set of quantities arranged in the form of a square, e.g.

is said to be a matrix. […]

The notation

represents the set of linear functions

((a,b,c)(x,y,z), (a’,b’,c’)(x,y,z), (a’’,b’’,c’’)(x,y,z),

so that calling these (X,Y,Z), we have

Calcul des matrices de Weyr.

Opérations sur les matrices de Cayley.

Als summe zweier Matrizen n^ter Ordnung

A = {a_hk}, A’ = {a’_hk}

wird jene Matrize B={b_hk} bezeichnet, die auf ein beliebiges System (x) appliciert das System (y+y’)ergibt, wobei (y) und (y’) die aus (x) durch A und A’abgeleiteten Systeme bezeichnen.

Hieraus folgt sofort

b_hk = a_hk+a’_hk,

d.h. die Elemente der Summe sind Summen dercorrespondieren Elemente der Summanden.

Eine Matrix, deren Elemente durchwegs gleich Null sind, möge Nullmatrix heiβen und mit O bezeichnet werden.

Definiert man analog die Differenz zweier Matrizen, so findet man

A-A’=B

falls

a_hk-a’_hk = b_hk (h,k = 1,2,…,n).

Offenbar gilt

A-A’+A’=A, A-A=0.

Dans Symbol -A möge die Differenz 0-A bedeuten; es hat demnach –A die Elemente -a_hk

The equations

give

and this lead to

as a rule for the addition  of matrices ; that for their subtraction is of course similar to it.

5. A matrix is not altered but the addition or subtraction of the matrix zero, that is, we have

M±0 = M.

the equation L=M, which expresses that the matrices L, M are equal may also be written in the form L-M=0, i.e. the difference of two matrices is the matrix zero.

6. the equation L=-M, written in the form L+M=0, expresses that the sum of the matrix L, M is equal to the matrix zero, the matrices so related are said to beopposite to each other; in other words, a matrix the terms of which are equal but opposite in sign to the terms of a given matrix is said to be opposite to the given matrix.