Ce texte a pour but de présenter les formes différentielles, objet très important dans les mathématiques et physique moderne, à travers une application classique : la reformulation des Equations de Maxwell (qui modélisent l'électromagnétisme) sous une forme plus compact et décriant mieux les symétries observées expérimentalement des champs électrique et magnétique.
Enfin, un peu de publicité pour un excellent ouvrage de vulgarisation mathématique : Chaos et stabilité, de Jérôme Buzzi, chercheur CNRS à l'Ecole Polytechnique, paru aux éditions Le Pommier.
Par ailleurs, profitons de cernier édito de l'année pour annoncer qu'à la rentrée, CultureMATH prendra une orientation nouvelle, s'intéressant davantage à l'histoire des maths et des autres sciences.
Profitez donc des vacances pour nous écrire en nous disant :
Prochaine parution à la rentrée. Bonnes vacances !
Aujourd'hui, nous vous proposons un texte intitulé Montagnards et polygones qui nous a été envoyé par un de nos jeunes lecteurs, Thibault Bourgeron, qui est en classe de terminale S au lycée Sainte-Marie d'Antony. Ce travail traite de deux problèmes à résoudre par récurrence.
Le premier vous est peut-être familier, puisqu'il s'agit de voir combien de contours de montagnes on peut imaginer avec n montées et n descentes (Thibault, lecteur assidu de CultureMATH, a lu notre article sur les chemins de Dyck, et nous a donc envoyé son travail, avec l'accord de ses professeurs).
Le second problème consiste à déterminer le nombre de manière de découper un polygone en triangles dont les sommets sont des sommets du polygone, et dont les arêtes ne se croisent pas.
Ce texte a été produit pendant son année de première S dans le cadre du club Maths-en-Jeans de son lycée, jumelé avec celui du lycée Blaise Pascal d'Orsay, sous le patronage des professeurs de mathématiques Guillaume Gervet et Marie-dominique Mouton, et de deux doctorantes, Sophie Donnet et Marie Sauvé. Outre Thibault, trois élèves ont participé à sa rédaction, Michaël Beniluz, Yves Desclercs et Alice Magnaudet (à l'époque tous en première S).
Que ce texte vous montre qu'il est possible d'utiliser des mathématiques hors-programme pour éveiller les esprits vifs des élèves motivés !
Un texte psychédélique de Florent Benaych-Georges, DMA (ENS), intitulé Des chapeaux, des couleurs et des structures algébriques. Imaginez une ronde de 100 personnes, portant tous des chapeaux de deux couleurs différentes. Chacun connait la couleur du chapeau de tous les autres, mais pas celle du sien. Maintenant, chacun son tour, les joyeux lurons peuvent dire un et un seul nom de couleur. Quand tous auront parlé, combien au maximum de personnes pourront connaître à coup sûr la couleur de leur chapeau ?
Eh bien tous sauf un peuvent le savoir, s'ils se mettent d'accord au préalable sur la stratégie à adopter !
Maintenant imaginons qu'il y ait plusieurs couleurs, voir une infinité, et pourquoi pas, une infinité de fêtards, que se passe-t-il ? En utilisant des mathématiques de plus en plus sophisitiquées (arithmétique élémentaire niveau collège, groupes, espaces vectoriels puis théorie des ensembles), l'auteur généralise peu à peu le résultat...
Le principe est simple : on prend des élèves de Seconde en Seine-Saint-Denis, appréciant les maths et motivés, on leur attribue des "tuteurs", élèves de l'ENS. Puis on fait travailler les premiers en contact avec les seconds... 5 séances sont prévues en 3 mois, avec du travail personnel à fournir entre les séances, l'expérience promet d'être riche en enseignement.
Pour en savoir plus, lisez ce petit article.
Aujourd'hui, un texte de Farouk Boucekkine, animateur de CultureMATH à l'ENS, intitulé Du Triangle de Pascal aux séries formelles.
Il expose une manière assez générale d'étudier des suites dont la définition fait apparaître (clairement ou après analyse), des phénomènes de récurrence (par exemple la suite de Fibonacci, les nombres de Catalan, les chemins de Dyck). Il s'agit d'introduire une série formelle associée à cette suite. Ce texte est donc une introduction à cette notion qui généralise celle de polynôme en autorisant les degrés infinis.
On y voir entre autres que cet objet algébrique permet d'effectuer des manipulations combinatoires sans passer par le traitement analytique de la notion de somme infini mais également également que ces manipulations doivent être effectuées avec prudence, et uniquement dans un cadre clairement établi.
Deux nouveaux liens également, le premier vers le tout nouveau site Diophante, qui présente plus de 400 jeux mathématiques, pour les amateurs de tous niveaux.
Le second, Dimitri Zvonkine organise cette année encore le Tournoi des Villes, dont la version printanière aura lieu le 13 mars. Jetez-vite un oeil à la page du tournoi des villes !
Enfin, toujours dans l'actualité mathématique, si vous êtes à paris mercredi 16 mars, ne ratez pas l'exposé de Don Zagier à 18h30 à la Bibliothèque François Mitterrand (Petit Auditorium de la Halle Est). Don Zagier est mathématicien, Professeur au Collège de France et s'exprimera A propos d'une correspondance mathématique, dans le cadre de la série Un texte, un mathématicien.
Vous pouvez trouver le programme de cett esérie (et bien d'autres choses) sur Le site de la BNF.
Encore un coup de projecteur cette quinzaine, sur le travail de Jean-Pierre Guidoni, professeur au collège-lycée Pascal Paoli, à Corte.
Aidé d'un graphiste, il fait des bandes dessinées illustrant les notions du programme de maths de collège, avec humour et légèreté. En l'occurrence, nous vous donnons un extrait sur la médiatrice d'un segment.L'auteur souhaite faire éditer son travail, N'hésitez pas à lui écrire si vous êtes intéressé ou si vous avez des informations à lui transmettre !
Et comme d'habitude, n'hésitez pas à nous écrire si vous voulez que nous parlions de ce que vous faites !
Un nouveau lien cette semaine, sur le site de la revue Diagonales, qui s'adresse aux lycéens passionnés de maths, mais tous ceux qui aiment les maths devraient y trouver leur bonheur! Vous y trouverez des jeux mathématiques et des bulletins pour commander les anciens numéros, ou les prochains.
Cette semaine, nous continuns à donner la parole aux enseignants militants, avec une interview de Véronique Slovacek-Chauveau, professeure au lycée Camille Sée, à Paris.
Elle est également présidente de l'association femmes et mathématiques dont le but est de promouvoir les filles dans l'enseignement scientifique, et en particulier mathématique, mais aussi de faire profiter aux jeunes déjà en place de l'expérience de leurs aînées.
Elle nous parlera en particulier de l'étrange paradoxe qui veut que la mixité ne soit pas toujours un élément favorable à la parité !
Pour commencer l'année sous de bons auspices, nous donnons aujourd'hui la parole à Jean-Pierre Richeton, professeur au lycée du Mas-de-Tesse, à Montpellier. Il est arrivé ici en 2001 après 30 ans de carrière en Alsace, essentiellement passée au lycée Jean Monet de Strasbourg. C'est dans ce lycée, qu'il a lancé avec quelques uns de ses collègues en 1997, une "option scientifique" en Seconde (et même en Première).
Il a aussi été président de l'APMEP de juin 1996 à juin 1998, et membre de diverses commissions.
Ses deux chevaux de bataille, qu'il estime étroitement liés : l'officialisation de l'option Sciences, et la modification de l'épreuve du Baccalauréat par l'introduction d'un exercice nécessitant de l'initiative de la part du candidat. C'est pour nous parler de ces sujets que nous l'interviewons aujourd'hui.
Cette semaine, deux textes courts. Primo, un petit addendum à notre texte sur l'équirépartition, par Francois Lo Jacomo, qui démontre un résultat simple mais surprenant : si l'on prend n chiffres quelconques, il existe une infinité de puissances de 2 commençant par ces chiffres !
Secundo, un texte général (sans aspects techniques) de Gilles Stoltz intitulé la statistique comme outil d'aide à la décision. Ce texte est le résumé d'un exposé fait par l'auteur devant les élèves du lycée Parc de Vilgenis (Massy) en mars 2004. Les statistiques sont une partie souvent mal connue des mathématiques, alors même qu'elle croise la réalité bien souvent, et ce texte tente d'en montrer les aspects peu connus sans entrer dans les détails. Nous proposerons un dossier mathématiquement plus complet sur le sujet au cour de l'année 2005.
Cette construction a l'avantage de donner très facilement la densité des rationnels dans les réels, mais est en revanche plus laborieuse en ce qui concerne les opérations algébriques. A vous de choisir (vous pouvez prendre les deux !)
De plus, elle pourra être tout à fait intéressante pour ceux et celles qui veulent passer l'agrégation interne ou externe.
Ce mois-ci, nous vous proposons une introduction à la théorie des nœuds, par Jérôme Dubois, chercheur à l'Université de Genève.
Toute personne se trouvant aux prises avec un embrouillaminis de fils est amenée à se demander si les fils sont simplement emmêlés, ou si des nœuds viennent corser l'affaire et rendre le démélage plus compliqué. Auquel cas, se pose la question de la marche à suivre pour dénouer la pelote, ou au moins d'éviter d'aggraver la situation !
La théorie des nœuds est l'abstraction naturelle de cette interrogation, et le texte que nous vous proposons cette semaine en survole les bases, expliquant ce qu'est un nœud pour un mathémticien, et comment exprimer en termes rigoureux la question « est-ce qu'il est vraiment noué ou pas ? »
Ce texte a été écrit par l'auteur pour présenter ses travaux de thèse, à l'occasion de sa participation au Prix Jeune Chercheur 2004 de la ville de Clermont-Ferrand, dont il a reçu un accessit.
Cette semaine, nous vous présentons un texte de Gilles Godefroy, Directeur de Recherches CNRS/Paris 6, issu encore une fois d'un exposé donné par l'auteur à l'Université d'été d'Animath. Il nous présente le lemme de Baire, ainsi que son créateur, René Baire, mathématicien maudit du début du XX° siècle.
Ecrit à la manière d'un récit, ce texte mélange mathématiques simples, complexes et détails historiques. Il sera une source d'inspiration et une illustration très intéressante pour ceux qui souhaitent passer l'agrégation de mathématiques, le lemme de Baire et ses applications en étant de grands classiques.
Il se termine sur quelques réflexions d'ordre pédagogique à propos des difficultés qu'on peut rencontrer dans la vulgarisation des mathématiques.
Nouveau lien : des jeux de cartes autour de l'addition et de la mutltiplications, très mignons, chez la Cat's family.
Nous vons aussi corrigé quelques coquilles dans notre texte sur l'équirépartition d'une suite de nombres (merci à Denis Pétrequin pour ses remarques pertinentes.)
C'est aussi l'occasion de réflexions personnelles de l'auteur sur "ce que devrait être" un bon texte de vulgarisation mathématique, dans un style direct, explosif et divertissant.
Cette quinzaine, nous vous proposons aussi un nouveau lien, vers une association présente à L'Université d'eté d'Animath, Math pour tous de l'Université de Marseille a pour but de promouvoir l'apprentissage du raisonnement mathématique chez des jeunes de tous ages par le biais de problèmes axés sur le plaisir de penser. Le but à terme est de pérenniser cette démarche en faisant des "anciens" les tuteurs des nouveaux élèves de l'association.
Deux nouveaux liens également : la liste des sites académiques, le site de la MJC Daniel André.
Le texte de cette semaine, intitulé Détermination du sexe selon la température chez les crocodiles (par Sylvain Arlot, élève de l'ENS) nous donne un modèle mathématique pour étudier l'évolution d'une population de crocodiles, et comparer cette évolution à celle d'une population où la détermination du sexe se fait génétiquement.
Nous commençons notre série par deux interviews de jeunes ayant un rapport original avec les mathématiques. Fabien Napolitano, docteur en mathématiques, a fait de la recherche en mathématiques pures et travaille actuellement dans l'industrie, dans le domaine des systèmes de positionnement pour sous-marins. Lætitia, quant à elle, enseigne les mathématiques à des malvoyants et aveugles à Marseille, après des études de... biologie.
Comme quoi les maths peuvent se trouver à la croisée de chemins bien différents...
Signal numérique et théorie de l'échantillonnage, par Frédéric Cao, chercheur à l'IRISA de Rennes nous présente les outils mathématiques qui nous permettent d'écouter de la musique sur CD ou de photographier avec des appareils numériques !
Ce texte a été écrit par Rémi Langevin, Professeur à l'Université de Dijon. Nous vous conseillons de regarder sa page personnelle, où vous trouverez quelques textes très intéressants, du point de vue mathématique comme pédagogique.
De plus, ce texte a été publié en 2002 dans le recueil "De la Méthode", paru aux Presses Universitaires Franc-Comtoises sous la direction de Michel Serfati.
Autre originalité, des figures interactives en Java accompagnent le texte pour l'illustrer de manière visuelle et ludique.
Bonnes fêtes !
Et un nouveau lien, les Editions Cassini, une maison d'Edition de vulgarisation scientifique de très bonne qualité (et dont les tarifs sont très raisonnables !).
Secundo, un texte de Giuseppe Longo, DR au CNRS en informatique théorique qui nous propose une réflexion sur Laplace, Turing et la géométrie impossible du "jeu de l'imitation". C'est un texte de nature philosophique, qui ne contient aucun développement technique, traitant de la différence entre pensée humaine et "pensée" mécanique.
Ce week-end a eu lieu la Fête de la Science. Voir à ce sujet le site du Ministère de la Recherche.)
Aujourd'hui, nous ajoutons à notre collection de textes le début d'une introduction à la Théorie des Groupes, par Farouk Boucekkine (et un peu Thomas Chomette aussi !) et un autre texte de référence également, sur l'Intégration selon Riemann et selon Lebesgue, par Jean Gounon.
Deux nouveaux liens: Enigmath, quizz mathématique ouvert jusqu'au 7 novembre !
Le deuxième est une association de professeurs de mathématiques, Sesamath